Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
P(F-JL)+div П-0 (32)
где V — вектою скорости частицы среды, а П — тензор напряжений. нИкоторые применения
407
Последний имеет в декартовых координатах yi, уг, уз следующие составляющие:
dv„. / dv,. д»,,.\
Рщщ ~ - P + 2p-g? + XdiVV1 Pvm = ^ + (33)
где X и |х — коэффициенты вязкости, причем обычно принимают, что X= — -у р. Не останавливаясь на выводе формул (33), заметим только что, полагая X и ц равными нулю, мы получим, что П = — pi ив Силу формулы (6) § 29 уравнение (32) приведется к уравнению движения идеальной жидкости
p(F~ S)-Srad^ =0 (34)
так что р есть гидродинамическое давление. Члены же тензора П, содержащие X и ц, построены совершенно так же, как составляющие тензора упругих напряжевий [см. формулу (29) § 29], с той лишь разницей, что вместо составляющих вектора смещения в формулы (33) входят со ставляющие вектора скорости, ибо в вязкой жидкости напряжения определяются скоростями деформаций, в то время как в упругом теле они определяются самими деформациями.
Так как жидкость предполагается несжимаемой, то уравнение неразрывности имеет вид
div V = 0 (35)
Возьмем теперь любые криволинейные координаты х1, ж®, ж3. Тогда контравариантными составляющими вектора скорости будут служить величины
dx'
vl = lT (З6)
>а ускорения
координатах проекции
Что касается вектора ускорения w = ^ , имеющего в декартовых
dvVi , dvUl
wVi = тг +
то очевидно, что его контравариантными составляющими являются
^=~ + vkVkVl (37)
Далее, ковариантные составляющие вектора F обозначим через Fk. Для тензора П из (33), в силу (35), удобнее всего получить смешанные составляющие
Р\ = - pgk + (* (VkVi + ViVk) (38)
Для расхождения же этого тензора будем иметь в ковариантных составляющих
ViPi = - VkP + (* Vi ('V^i + V^) (39) 408
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ
Гл. IV
В результате, уравнения (32), написанные в ковариантных составляющих, будут иметь вид
р ( + "'V5"1) = P^ —+ ^V, (V»»» + V^) (40)
6 приложениях приходится иметь дело чаще всего с криволинейными ортогональными координатами и притом с физическими составляющими. Преобразуем уравнения (40) для этого частного случая.
Физические составляющие вектора скорости обозначим через г>х» *х>> вектора силы через Fx4 F&, F^; физические составляющие тензора (і (Vkyl + V4»») обозначим через Tjs. Если коэффициенты Ламэ обозначить ЧврвЗ Ai, ^Si то
Vxi = HiV1, Xijl = ^. ^ (У**1 + V4) (41)
По формулам
Г - 1 ( dga л. 3gM дЄі* ^ гх -
легко далее вычислить для случая криволинейных ортогональных координат символы Кристоффеля:
Га — O1 если іфк4=Ь; ГЬ = ^tl, Fikk = - ^f- -?-, если i+k [42)
дх Hf дх
Составим теперь тензорную производную
V^i +л-и
В силу формул (41) и (42) легко получим, что ее можно записать в следующей общей форме:
W- ^-32+*!??? <«»
После простого вычисления находим
»AY7 V a^ St дН" 1 V vXk"Xі aHi /АА\
Прибавляя сюда
dvi _ 1 OD3eI
dt ~ Hi dt
и переходя путем умножения на Hi к физическим составляющим, найдем физические составляющие вектора ускорения
,„ , V VUii V mX ^ V e^"*1 ая»
wXi-^+ & Hk дх" ? HlHk + Zji HkHi дх*
(45) нИкоторые применения 408
Для вычисления Tiit можно поступить следующим образом: перейдем в тензоре (43) к физическим составляющим путем умножения на Hi/Ht, прибавим к полученному тензору тензор, получающийся из него перестановкой индексов, и умножим на ja; в результате получим
.J1 ** . 1 t Г ^l1 Tift = ^fefcF + ЯГ W- TfTTTh L"-*^ + "^-ST J +
' VxX э 111 H4 )
+24 2 (46)
л—і >
Преобразовывая к физическим составляющим pitt формулу (31), имеем
і _ рк 1 у Г 1 Э /S1Win \ „ аІпДУІ „,, ST v*Pi = в- 5? pV(47)
Замечая еще, что физическими составляющими grad <р являются
liKdx*
найдем из (40) окончательный вид уравнений гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости в любых криволинейных ортогональных координатах
[dv^ j. V ** 3fr* , V 'Л'ЛІ-
pI^+ iia»* ? HiH, м + я,я, J -
где Tjjt определены формулами (46).
Наконец, уравнение неразрывности (35) в силу формулы (16) можно записать в виде
a (HtHiVa (HsHlVxJ a (HlHiV7si) _ г I ^s и
В качестве простейшего примера рассмотрим цилиндрические координаты г, ф, а. В этом случае мы имеем
Hr = 1, H9 = г, = 1 (50)
и предыдущие формулы приводят к следующим выражениям для тензора XikI 410
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ
Гл. VI
и к следующим уравнениям гидромеханики:
J9-Zla-V 4- 4- 7, э"г vV ) пр л_ Il-
дт„ , 1 aTrtp дхг.
_ і___
Л» 1 г
дг 1 г 5ф 1 dz ~ г
= „ [ЗЧ , 1 dvr Vl . 1 дЧг 2 Stv { дЧг] ^ L Згг г 9г Iа г» ¦ 5фа г2 оф T J
/5» op„ Э». Drу \ \ я-
вт„ і Зт„ 5т 2
_ ФГ ,__^ УР і tpz _1_ _ f _
Зг """ Г Зф "Г" 02 Г r^ _
[d'v j з»„ »m і 5а» 2 a« o3v„ і
_ф_ t__Ф_i_ ___ф і___ r і _
aPs ~ r dr ra rT1 ^ T1 дф дг" J
of3** Л- 7! ^i'*3''^!: 3M off JUdP-
р VaT +^ aT + ra^ + ^-fc J -Р^ + эГ =
_ Srri _ lt [d*vz І і а», . I эьг -]
~~ dr г <*p -T- dz T" r ^ L Sra г дг г* 5ф* ~W\
4-— ^ 4-^ 4-Її-= О Зг "Г" г 5ф "Г" 9z "Г" г
