Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ЭЛяМяНТЫ ОБЩвя ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ
Гл. IV'
ного переноса вектора при помощи эвклидова пространства Em, объемлющего данное пространство Rn, не годится для случая переноса из одной точки в другую, отстоящую от первой на конечном расстоянии.
Оказывается, что вообще нельзя даже и говорить о параллельном переносе вектора в римановом пространстве Rn из одной точки M в другую Р. Можно говорить о параллельном переносе вектора из точки M в точку P вдоль какой-нибудь определенной линии !.,соединяющей эти точки, подобно тому, как работу силы на перемещении точки из одного положения в другое можно вычислять, вообще говоря, только по какому-либо пути, соединяющему эти точки, так как для разных путей эта работа оказывается различной.
Вычисление результата параллельного переноса вектора по пути L из точки M в точку P мы должны производить следующим образом: мы должны путь переноса разбить на малые участки, к каждому из которых мы можем уже применить формулы (16); говоря точнее, мы должны проинтегрировать уравнения (16) вдоль пути L, исходя из данных значений вектора A1 в точке M; в результате мы получим какие-то значения составляющих этого вектора в точке Р. Подчеркнем еще раз, что эти SHaneHHHj вообще говоря, зависят от выбора пути L, соединяющего точки M та. Р.
5. Теперь мы можем дать геометрическое истолкование тензорного Дифференцирования, связав его с изложенным в предыдущем пункте понятием параллельного переноса вектора.
Рассмотрим в римановом пространстве Rn контравариантный вектор Ai и пусть точка M с координатами хг и точка M' с координатами Xі dx1 две бесконечно-близкие точки этого пространства. Значения составляющих вектора A1 в точке M' обозначим через А' + dAx, где, очевидно, {
dA^J^dx* (17)
Поступим теперь для определения производной вектора A1 так же как поступали в векторном анализе, а именно, прежде всего совершим параллельный перенос вектора А' из точки M в точку М'\ в результате мы получим согласно формулам (16) вектор с составляющими
Ai + 64і = Ai - П*Аxdxk
Образуем теперь разность между значением вектора Аг в точке Af и вектором А' + ЬАг в точке M' (последний вектор мы считаем равным вектору Аг в точке М); в результате получим вектор
(4і + dA'") - (Ai + 6Л<) = dAi - бAi = ^f + (18)
который можно назвать геометрическим приращением вектора А\ I 35 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕНТОРА 399
Так как величины dx" образуют произвольный бесконечно-малый вектор, то величины
V^i = + Ax Fiut (19)
являются составляющими смешанного тензора, который, очевидно, не отличается от ковариантной производной контравариантного вектора.
Итак, геометрическое значение ковариантной производной контравариантного вектора состоит в том, что через нее непосредственно выражается геометрическое приращение вектора At при переходе из точки M (Xі) в бесконечно-близкую точку M' (я' -+- ate") по формулам
dAi — 64і = Vfe A1 dx* (20)
Нетрудно теперь дать формулы для параллельного переноса ковариантного зектора Ai. В самом деле, мы можем рассмотреть поле такого вектора At, для которого в точке M для любого направления окажется dA% = 6А1; но тогда из (20) ясно, что для такого вектора в точке M
V^i = 0
а следовательно, в силу тензорного характера этого выражения и
Vt^4 = 0
т. е. по формулам (6) предыдущего параграфа
SA1
Отсюда следует, что ЭА
-Tdxlc — Ax 1? doc* = dA< — АХГ?„ dx" =0
дх
заменяя в этом выражении dAi на бAi, мы получим требуемые вы раженая для изменен а я ковариантных составляющих вектора при его параллельном переносе
Mi - AxTU=Cx = 0 (21)
6. Укажем основные свойства параллельного переноса векторов. Скалярное произведение двух векторов A1 и Bi не меняется при их параллельном переносе. В самом деле, мы видели в § 32, что скалярное произведение двух векторов A1 и B1 надо определять как
AiBl = AiBi = gik AiBk = gik AiBll
Но тогда, согласно- формулам (16) и (21), мы будем иметь
б (AiBi) = BiMi + A1IiBl = — BiAx r[kdx* + А*ВхГ&х" => = — BiAx T\k dxK + At-Bi Г^ dx" = 0
что и доказывает наше утверждение. 400
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ TSOPHH ТЕНЗОРОВ
Гл. IV
Беря в частности вектор B1 равным вектору A1 и замечая, что
AiAi = BikAiAk = gik A1A11
определяет квадрат длины вектора Ai, мы приходим к выводу, что длина каждого вектора при его параллельном переносе остается неизменной. Наконец, вспоминая, что по формуле (32) § 32 угол ф между двумя векторами A1 и Bt определяется формулой
A -4iB4 COS W :--!--
VA1Ai VrBiBi
нетрудно заключить, что угол между двумя векторами при одновременном параллельном переносе этих векторов остается неизменным.
Рассмотрим еще, что происходит при параллельном переносе вектора вдоль геодезической линии. Пусть через точку M проходит геодезическая линия L. Обозначим через = (IxiIds вектор, касательный к этой линии; длина этого вектора равна, очевидно, единице, ибо
E1 Ей ibe1 dxk .
ft»1 = ^i* 7Г ~ЗГ ~ Основное уравнение геодеаических линий § 33 (25)
сPxk , пх dxdx" „
+ likItHT ^0 мы можем теперь переписать в виде
