Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
дхі ~ Их* Ozi {
характерным для ковариантных векторов. Этот вектор является, очевидно, обобщением хорошо нам известного вектора grad <р обычного векторного анализа.
2. Теперь положим, что мы имеем поле ковариантного вектора Ai, так что в каждой точке риманова пространства нам задан вектор его ко-вариантнымв составляющими. Возьмем две бесконечно близкие точки пространства: точку M с координатами х1 и точку M' с координатами Xі + dx4 и попробуем сравнить между собой векторы Ai, соответствующие этим двум точкам. В обычном векторном анализе мы поступали очень просто, а именно, мы откладывали оба сравниваемых вектора от одной точки. В римановом пространстве сраау же встречается в этом пункте затруднение. В самом деле, какой зектор в точке M' мы должны считать равным вектору, которого составляющие в точке M равны Ai? Сказать, что это есть вектор, которого составляющие в точке M' равны тоже Ai, мы не можем, потому что тогда для разных систем координат мы получили бы в точке M' разные векторы. В самом деле, по определению ковариантного вектора, его компоненты меняются при преобразовании координат следующим образом: 'тензорная производная вектора и тензора
385
причем если вектор рассматривается в точке М, то и аначение производных дха/дх1 нужно брать в этой точке; если же вектор рассматривается в точке M', то значения производных, вообще говоря, изменятся. А отсюда видно, что при переносе в точку M' значений величин Ai в точке M мы не получим вектора Ai ибо формулы (2) будут справедливы для точки M и перестанут быть справедливыми для точки M'.
Указанное затруднение имеет место даже в случае эвклидова пространства, если только мы пользуемся криволинейными координатами. Возьмем самый простой случай полярных координат г, 6 на эвклидовой плоскости. Пусть точка движется по окружности радиуса R с центром в начале координат с постоянной угловой скоростью <в. Вектор скорости будет иметь в этом случае вонтравариантные составляющие
которые сохраняют постоянную величину, между тем как мы хорошо зваем. что вектор скорости в этом случае все время изменяется по своему направлению. Бели же взять вектор, сохраняющий постоянными как свою величину, так и направление, другими словами, если совершать параллельный перенос вектора, то его составляющие в полярных координатах будут изменяться, причем не трудно составить формулы для вычисления этих составляющих в любом положении вектора.
В римановом пространстве дело обстоит гораздо сложнее и притом в силу двух обстоятельств. Во-первых, в этом случае мы прежде всего должны обобщить самое понятие параллельного переноса вектора, причем мы проделаем это обобщение сначала аналитически, при помощи формул, и лишь в следующем параграфе укажем на геометрическое истолкование понятия параллельного переноса вектора. Во-вторых, в то время как в эвклидовом пространстве можно совершать параллельный перенос вектора из какой-либо точки пространства в любую другую точку пространства, оказывается, что в римановом пространстве можно говорить только о параллельном переносе вектора из точки- M в другую точку N вдоль какой-либо кривой!., подобно тому, как в случае сил, не имеющих потенциала, работа их на перемещении из точки M в точку N должна вычисляться для определенного пути, соединяющего эти точки M и N. Подобно тому, как в этом последнем случае работа силы зависит от пути, так и в случае риманова пространства при параллельном переносе какого-либо вектора из точки M в точку N по различным путям получатся равличные значения вектора в точке N. В связи с этим мы ограничимся изучением параллельного переноса из точки M в соседнюю точку M', подобно тому как в механике рассматривают элементарную работу, т. е. работу силы на бесконечно малом перемещении.
3. Рассмотрим ковариантный вектор Ai в римановом пространстве Rn. Составляющие этого вектора получат при переходе из точки M с коор-
25 н. Е. Кочип 388
элементы обшей теории тензоров
Гл IV
динатами х* в соседнюю точку M' с координатами Xі ¦+- dx*- приращения
= ^dx* dx"
характеризующиеся п% величинами QAJdxk. Однако эти величины не образуют, как мы сейчас покажем, тензора.
В самом деле, величины Ai при преобразовании координат изменяются по формулам (2). Дифференцируя эти равенства по Sk, мы получим
аЛі дА* дз? Sxa . д'з* (3)
причем мы при дифференцировании Aa но Xk рассматривали ее, как сложную функцию от я" через посредство л^, 3?,. . ., хп. Мы видим, что величины SAiJdxk не имени: тензорного характера потому, что в правую часть
8h>x
формулы (3) вошли вторые производные —^—-, вообще говоря, отличные
дх1дхк
от нуля. В случае афвиных ортогональных тензоров Xa являются линейными функциями от St, вторые производные к нее обращаются
в нуль и никаких затруднений при построении производных от векторов и тензоров не получается.
Но в конце предыдущего параграфа [формула (32)] мы выразили доставляющие нам затруднения вторые производные через символы Кристоффеля
Sxxrir ,,л ^ ii--1 (4)
дх'ді" дх Зі132*
