Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Заменяя в последнем члене формулы (3) значок суммирования а на X и внося в эти формулы выражение (4), получим
SAi . дхк рг fdAa . гл \ дх" а^
- 1 «* = ~ Axl aeJ а?
В силу формулы (2) имеем
Ax-? = Ar
ох
и, следовательно, предыдущее равенство принимает вид
d~Ai -T рГ IdAo. . рХ \ дх°- Ctefl
Но это равенство показывает, что величина
ЭА„
VfiAa^Atfle . (6)
является ковариантным тензором второго ранга.
Этот тензор, который мы будем обозначать символом V?^a, и называется коварпантной производной ковариантного вектора. 'тензорная производная вектора и тензора
386
4. Определим теперь коварнантную производную контравариантного вектора А*. Для этого мы введем в рассмотрение произвольный ковариантный вектор B1 и составим выражение
Ф = А«Ва
Будем теперь под VafP понимать ковариантный вектор -? и потребу-
дзГ
ем, кроме того, чтобы ковариантное дифференцирование подчинялось правилу дифференцирования произведения
Ve (А*в,) = BaVeAa + A»VfA (7)
Так как при произвольном векторе Ba выражение
BaVeA* = V@[AaB0,) - A'VA
является ковариантным вектором, то в силу теоремы деления тензоров п. 5. § 31 можем заключить, что Ve-^ct будет смешанным тензором. Для вычисления его используем формулу (6)
Я,V^ = 9JgA - A* (? - ВХГЪ) - $,? + A-Brtt =
= Щ + = В* (% +
Отсюда, в силу произвольности вектора Ba, легко заключим, что
= (8)
Полученная формула и дает выражение ковариантной производной контравариантного вектора.
Тем же самым приемом легко определим коварнантную производную любого тензора. Возьмем в качестве примера тензор третьего ранга Aa?'<. возьмем три произвольных вектора иа, иг, и составим инвариант
ф = A1Jact Фи>-<
Мы потребуем, как выше, выполнения правила дифференцирования произведения
Vx (A^iPwy) = (9)
= + A^VuWxtta + и0 + A^Va0V >ДО-<
Так как при произвольном выборе векторов и", fs, Wr выражение
илг?хог Vx Aa?J =
= Vx (A^yU01IZ5Wy) — A^/wyVA«11— Aa^uaiWy Vx^ — Abgu'v^SJ
является ковариантным вектором, то в силу теоремы деления тензоров § 31 можем заключить, что Vx-iIaplr будет тензором четвертого ранга, три раза ковариантным, раз контравариантным. Для вычисления его ио пользуем формулу (9), в которую подставим вместо Vx»a> Vx^0 и Vx"4
25* 388 элементы обіДей теории тензоров Гл. IV
их выражения, получаемые по формулам (6) и (8). Принимая еще- во внимание, что
Vx(^VvV) =
aAaat. ас a ,V-Y 3u0tB . , • . T с а»13 , , , , ( Это
= ^f" и v + + Aal3rUa-^ wr + AafitUaV
пооле несложных алгебраических действий получим, что
HVMVVa^sT =
= dJtafu^wy -АWrJTf, - HasV^tTL + Л^и'Л^х
дх
Переставляя в правой части этого равенства местами индексы риз во втором члене, р и ? в третьем, [і и у в четвертом и сокращая после этого на иа что можно сделать в силу произвольности векторов u®, P0, и?т,' получим окончательную формулу
dA
VxA^l = А^Пх - A^Tgi + ^rjx (10)
OX
Таким образом, при составлении ковариантной производной тензора Из обыкновенной производной нужно вычесть столько дополнительных членов, сколько тензор имеет нижних значков, и прибавить столько дополнительных членов, сколько тензор имеет верхних значков. Каждый дополнительный член представляет собою произведение рассматриваемого тензора, в котором один из значков заменен переменным значком суммирования р. на символ Кристоффеля второго рода, в котором значок дифференцирования стоит внизу.
5. Ввиду важности понятия тензорной производной мы приведем еще один вывод ковариантной производной ковариантного вектора Ai-
Мы знаем, что бесконечно малый вектор dxi является контравариант-ным вектором, а величина ds является инвариантом. Поэтому величины dxi!ds образуют контравариантный вектор. Произведение
будет поэтому инвариантом.
Проведем через рассматриваемую точку M геодезическую линию в произвольном направлении и пусть dx? означают дифференциалы координат при смещении точки вдоль этой геодезической линии. Обозначая через «йр дифференциал функции <р при смещении вдоль геодезической линии, мы можем, очевидно, утверждать, что выражение dtplds тоже будет инвариантом, ибо геодезические линии имеют абсолютное значение, независимое от специального выбора координат. Но
dq _ dAid^ , . dV = , л
ds ~ da ds ^ 1 ds* ~~ дхк ds ds + A ds' 'тензорная производная вектора и тензора
389
С другой стороны, на всякой геодезической линии по уравнению (25) предыдущего параграфа
dh*__ь Axi dx"
dl* ~ L iltIfdT
Поэтому
dV I А Г* \ dxi dx" ....
af = I^" ЧТИТ (11)
Левая часть этого равенства есть инвариант, следовательно, и правая часть является инвариантом. Но за dxi можно взять произвольный вектор, ибо мы можем брать геодезическую линию, проходящую через точку M в любом направления. А тогда из теоремы п. 5 § 31, формула (10) вытекает, что величины
I (3 ¦-*¦*) +і (?¦-«4) ¦= ЯЗ + ?) - *А («)
образуют ковариантный тензор второго ранга.
G другой стороны, нетрудно показать, что величины
JLfML-aM
2 ^ дх" Bxi J
тоже образуют ковариантный тензор второго ранга. В самом деле, меняя в формуле (3)
