Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
^=O
ds» "
и из уравнений (23) видно, что в этом случае Г= 0. Если же взять, скажем, сферические координаты, то прямые линии уже не могут быть выражены уравнениями вида (26) и, следовательно, Г^ не могут все сразу обратиться в нуль. Между тем составляющие любого тензора, в силу линейности формул преобразования, должны обладать тем свойством, что если они все сразу равны нулю в одной системе координат, то они должны равняться нулю в любой другой системе координат. Так как Гер не удовлетворяют этому условию, то они не являются составляющими тензора.
Заметим далее, что наряду с формулами (24)
Г?з = gaI\, «о (27)
мы имеем взаимные им формулы
Г», ар = gkiFlfr (28) 382
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
доказательство которых почти очевидно:
= gk*gnFi. = glГ(. <&=Г».в$
Далее необходимо отметить свойство симметрии, выражающееся формулами
Гі, 49 = Гі. ?a, r„? = T?a (29)
непосредственно вытекающими ив (22) и (27).
Нетрудно далее выразить производные от составляющих фундаментального тензора черев символы Кристоффеля первого рода; а именно легко простым вычислением проверить справедливость следующих формул:
дхГ = Tltl ?., + Гв. „ (30)
Наконец, легко выразить через символы Кристоффеля , где g —
дха
фундаментальный определитель.
В самом деле, дифференцирув определитель (3) § 32 по ж" по правилам дифференцирования определителей (сперва необходимо продифференцировать первую строку, оставляя остальные невзмениымн, затем только вторую строку и т. д., все полученные определители нужно затем сложить), мы_получим
п п
dS V V вік п
TV = Zi Zi
дх i=L H=I дх
где Cu — алгебраическое дополнение элемента g1Jt, равное по формул" (5) § 32 величине ggki. Итак
Зі- = ее* Нінах* 6В а®«
Применим теперь формулу (30):
-gr = «* (Гг. ы + г4. „) = + grL = 2?ГІ Полученную формулу запишем следующим образом:
г1 - 1 JJm - JL1ҐІ
ia ^ дх" Yl дх"
(31)
5. Выше было отмечено, что символы Кристоффеля не являются тензорами; интересно в связи с этим выяснить, по каким формулам совершается преобразование символов Кристоффелв при переходе от одной системы координат к другой.
Эти формулы преобразований очень легко получить, если исходить из уравнении (25) геодевических линий. В самом деле, геодезические линии, по самому их определению — быть кратчайшими среди прочих линий, соединяющих две достаточно близкие точки геодезической линии и мало отличающихся от зтой линии,— не могут зависеть от системы дифференциальные уравнения геодезических линии 383
координат. Поэтому, преобразовывая уравнения (25) к новой системе координат я1, ... , х", мы должны получить те же уравнения (25), но только написанные в новых координатах. Прежде всего, находим
dxX dxx dx- db* дхх iPp , dx d f дхх
+
dx d / Sxk \ ds ds \ а~* !
ds Sx1 ds ' ds2 ^xi ds'' 1 as as \ gx'
Далее по правилу вычисления производной от сложной функции _d_ / дх* \ _ 3?* ch*
<*s I ~ &?дхк
Итак
dx* _ dxa dp dxfi _ dx? dx"
de gjjj1 da ' ds ~ faJc ds
dtx* _ dx*- <Px SPxx dx rfs*
ds' — ds» + dx'teF ds ds
Подставляя все эти выражения в уравнение (25), найдем
дхх dher , I ЭЧ* , дх*
& ds*
( ЭЧК дх* гх dxk _ п
I <Й4Э? дії дх" ^J ds ds -U
С другой стороны, уравнения геодезических линий в новых координатах имеют вид
dh? tte4 dxk п
S^ + rikS7~ЗГ = °
Умножая их на и сравнивая полученные уравнения с предыду-дх
щими, придем к важной формуле
дхх fir дх" дэРгх агXх ,„
дх*
из которой, путем умножения на и принимая еще оо внимание
дх' дхх _ дхх дїг ~ '
легко получим формулы
дх1 дх* дз? , а» Xх дх1
Tis = Ta0-^ir-^r+-^r ^ (33)
показывающие, как преобразуются символы Кристоффеля второго рода при переходе от одних координат к другим. Конечно, при переходе от координат хг к координатам ж® получаются совершенно аналогичные формулы преобразования
г\ р( дх1 дх1 дх" а»? дх*- 384
элимвнты овщва теории тензоров
Гл. IV
Мы видим, что символы Кристоффеля не являются тензорами, потому, что вообще говоря,
3?*
ді* дї*
отличны от нуля; но в начале этого параграфа мы видели, что по той же самой причине величина dAt не является вектором.
В следующем параграфе мы покажем, как можно использовать нетензорный характер величин с тем, чтобы при их помощи скомпенсировать нетензорный характер величин dAt. В результате мы получим возможность установить имеющее тензорный характер понятие тензорной производной вектора или тензора.
§ 34. Тензорная нроиаводная вектора и тензора
1. Задачей этого параграфа будет установление понятия производной от вектора и тензора, причем мы должны дать такое определение производной, которое имело бы тензорный характер. Допустим, прежде «сего, что мы имеем в римановом пространстве Rn поле скалярной функции <р, так что ф есть функция от п координат ж1, X11 ... , х". Тогда п величин dtpIdxi будут составляющими ковариантного вектора, ибо при преобразовании координат эти величины преобразуются по формулам
d<f _ дф дх" ,,,
