Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
z*=zBa(s) (0С = 1.....п) (8)
Возьмем теперь произвольные п функций от S, которые мы обозначим через (s), и подчиним лишь тому условию, чтобы при S = 0 И S = U все эти функции обращались в нуль:
Г (0) = Iа (М = 0 (а= і.....п) (9)
Рассмотрим теперь семейство кривых Lf, координаты которых являются следующими функциями от s:
я" = ха- (s) + (s) (« = 1, ..., п) (10)
где в есть малый параметр, могущий принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Обозначим, наконец, через Ф (х, функцию
причем заметим, что из равенства (5) следует соотношение
¦»('..©-teS^-i (12)
Принимая в (7) за параметр t дугу s кривой La, будем иметь для длины отрезка кривой Lz, лежащего между точками Me и Mi, выражение
г, _
і (в) = Jyr<!>(»+ вб, ? + (13)
о
Так как при є = 0 мы получаем длину Zo дуги кривой La, меньшую по условию, чем длина I (в) дуг соседних кривых Lt, то І (є), рассматриваемая как функция от є, должна при є = 0 иметь минимум. Но известно, что необходимым условием минимума функции является обращение в нуль производной этой функции в той точке, где достигается минимум. Итак, должно быть
FS1L=0 ^
Функцию (13) можно дифференцировать под знаком интеграла, причем подынтегральную функцию надо дифференцировать, как сложную функ- дифференциальные уравнения геодезических линии 379
цию от е. В результате дифференцирования и подстановки после этого значения е = 0 получаем
гаї = [ , 1 і аф1?У-
L da J1=* Jo/, ^ Ui <*>
о 2 ф(*„. eU I
В силу (12) и (14) приходим к такому условию (конечно, по і надо суммировать в пределах от 1 до и):
0 0 a~dT
Второй интеграл левой части можно проинтегрировать по частям:
t, U
J ^ri Lw4 J 6 л (^r
о <»-зг L a-j— j _ о yo-tri
I fi?S
"Ж" *-0"ЇГ -js=o 0 "a~dt
і.
J / AiTt t
ds
1T
так как проинтегрированная часть обращается в нуль в силу условий (9). Уравнение (15) принимает теперь такой вид:
J L3*» л иЫ
о ej
cfs = 0 (I?)
Но функции Iі могут быть выбраны совершенно произвольно при соблюдении лишь условий (9), поэтому необходимо, чтобы на кривой L выполнялось п равенств
S-T (-?)-• <">
ds
(мы отбрасываем излишний теперь значок 0); в самом деле, если бы эти равенства не вмели места, то мы взяли бы за функции J1 функции, имеющие тот же знак, что и их сомножители: тогда получилось бы из (16), что интеграл от положительной функции равен нулю, чего не может быть.
3. Изменяя данное выше определение геодезической линии, мы назовем теперь геодезическими линиями все те линии, которые удовлетворяют уравнениям (17). З»)
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Воспользовавшись теперь выражением (11) для функции Ф, раскроем левую часть уравнения (17). Прежде всего мы имеем
ЭФ „ Ctxk
= 2Si* ИГ
дИГ
двойка появляется потому, что в равенстве (11) наряду с gik
(
dx" dx ^
мы имеем еще член giei —- j и, следовательно, d <Я> dh* 0 ^gik dx*
"ЗТ-?Г = 2^ ST + 2 ITlT <18>
a^T
производную по S от функции gi» (аг1.....аг") надо брать, как производную от сложной функции. Прн этом нам удобно вести вычисление следующим образом:
dSiH d^ ^ rfITitt d^ = Hia dx«
ds ds da ds QxP ds ds
а точно так же
dgik dx* _ dx? _ dx" daP ds ds dt Hs dx" ds ds
Складывая оба выражения и подставляя в (18), найдем, что
S dx' + n?-+-S=V-аг TT (19)
a~dT
Наконец, написав формулу (11) в виде
,т. dx* <h?
Ф = ^HT ИГ
легко получим, что
ЗФ _ S?«e дх1
(20)
В силу (19) в (20) уравнения (17) принимают вид
ЛPt . 1 Г dgjg , 3Stf 3Sap 1 аг» ЛЇ* n ,
gi" 1ЩГ + T І + ---= й (21>
Полученные дифференциальные уравнения геодезических линий мы запишем в другом виде, введя особые символы — так называемые прямые скобки Кристоффеля или символы Кристоф-феля первого рода:
T (Sr + д-В—-'г«-'*- Г<*'f= f11 -fot?-4 (22)
мы уже указалв несколько обозначений этих символов, которыми пользуются разные авторы. дифференциальные уравнения геодезических линии 381
При новых обозначениях уравнения (21) запишутся так;
<Ih* г dz* dz* n „„
ST + Гі- -в "ST ~dT = 0 (23)
Умножая их на glx и вспоминая, что
ix X X <Рхк d*xX
gibg = gk, gk -faT = мы можем придать уравнениям (23) еще такую форму: dsj -tg И.аз ds dt -о
Введем поэтому еще волнистые скобки Кристоф-ф е л я -или символы Кристоффеля второго рода, определив их формулами
g*Г«. «й = ri? = {f} = (a?, \> (24)
тогда окончательно уравнения геодезических линий напишутся так:
d*xK , dx* da? „
Л®"+ r^-ST-ST = 0 2,-...») (25)
В этих уравнениях представляют собой совокупность л8 функций от координат Z2, . . . , Xn1 определенных формулами (22) и (24).
4. Рассмотрим теперь свойства символов Кристоффеля.
Отметим прежде всего, что символы Кристоффеля не являются тензорами. Это видно хотя бы из того, что в случае эвклидовз пространства, если мы возьмем прямолинейные координаты, то геодезические линии — в данном случае прямые линии — выразятся линейными уравнениями вида
= 4- Іх (26)
где ax и bx — постоянные; поэтому окажется
