Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
"/(Уі. *°) (У, 2°) ~/
Теперь зададим второй вопрос: «Если z зафиксировано на-другом определенном уровне, например г', сместится ли указанное значение детерминированного эквивалента #?» В очень многих случаях оно остается прежним.
Значение детерминированного эквивалента у тогда будет зависеть только от у\ и у2 и не будет зависеть от выбранного значения z. Если это оказывается справедливым для любых фиксированных значений у\ и t/2, то условные функции полезности «(•, z°) и w(-, z) стратегически эквивалентны. Таким образом, из. теоремы 4.1 следует, что все условные функции полезности вдоль горизонтальных отрезков на рис. 5.2 связаны между собой положительными линейными преобразованиями. В данном случае получаем
u(y,z)=g(z)+h(z)u(yf z') '.(5.7)
216
для всех у к z, где функции и А(*) зависят ТОЛЬКО ОТ 2, не
зависят от у и удовлетворяют неравенствам g(*)>0, к(-)>0. Несомненно, функциональный вид и ?(•)> и /*(•) будет зависеть от выбранного конкретного значения z\ Заметим, что, если выражение (5.7) выполняется для какого-либо одного значения z\ то оно будет выполняться и для всех остальных значений z.
Определение. Будем называть Y независимым по полезности от Z в том случае, когда условные предпочтения между лотереями с исходами из У при фиксированном значении z не зависят от самого значения z.
Из этого определения непосредственно следует, что Y не зависит по полезности от Z тогда и только тогда, когда справедливо
- выражение (5.7)*). Бели Y не зависит то полезности от Z, то условная функции полезности, заданная на У при определенном значении 2, в стратегическом отношении не зависит от самого значения 2. Во всех случаях, когда имеется независимость по полезности, можно говорить просто о функции полезности на У, не указывая при этом значение параметра 2. И без таких усложнений трудность предмета исследования достаточно велика!
Аналогично представляется естественным исследовать, является ли Z независимым по полезности от У. Пусть уровень У зафиксирован, например для него выбрано значение у\ и рассматриваются предпочтения между лотереями с исходами из Z, тогда возникает вопрос, зависят ли эти предпочтения от значения yr. Если нет, то Z не зависит по полезности от У и можно говорить просто о функции полезности на Z безотносительно к значению у'.
В практических ситуациях выяснение вопроса о том, является ли У независимым но полезности от Z, a Z — от У, очевидно, должно проводиться на ранних стадиях. Отметим, что при этом возможны следующие случаи: имеют место обе независимости, выполняется лишь одна из них, ни одна из независимостей не име-
- ет места. Для того чтобы показать математическую возможность всех указанных случаев, рассмотрим следующие функции полезности:
1. и(у, z)=y*2?/(y+z)\
2. и (у, Z) =g {z) + h {z) Uy (у);
3. и(у, z)=k(y)+m(y)uz(z))
4. и (у, z)=kluY(y)+k2uz(z)+kzuY(y)uz(z);
5. и(у, z) = [a+$uY(y)][y+ouz(z)]\
6. и(у, z)=kYuY(y)+kzuz(z).
*> Другая интерпретация независимости по полезности состоит в следующем. Если Y не зависит по полезности от Z1 то очевидно, что все функции полезности вида z) стратегически эквивалентны. Если у— скаляр, а вторая производная от г) по у непрерывна, то для каждого z на У может быть задана условная функция несклонности к риску аналогично тому, как это было сделано в § 4.5. Если Y не зависит по полезности от Z, функция несклонности к риску, построенная на У при фиксированном значении 2, не зависит от самого значения г. Справедливо также и обратное утверждение* См. Кини (1973d), Поллак (1973).
217
Если предпочтения описываются первой функцией, ни один из факторов не является ,независимым по полезности от другого. При описании предпочтений с помощью второй функции У не зависит по полезности от Z, но обратное утверждение не является справедливым. Когда предпочтения характеризуются третьей функцией, Z не зависит по полезности от У, однако обратное утверждение неверно. И, наконец, в последних трех случаях факторы не зависят друг от друга. Ниже исследуются теоремы представления. Это исследование проводится таким образом, что на основе чисто качественных соображений для каждого конкретного случая удается установить соответствующую ему 'функциональную форму. Очевидно, различия в функциональных формах в значительной мере влияют на процедуры построения конкретных функций.
Независимость по полезности оказывается важным свойством, поскольку оно является необходимым и достаточным условием существования функций полезности, зависящих только от одного фактора. В случае, когда У не зависит по полезности от Z, существует функция полезности только от У. Предпочтения между различными значениями У тогда могут оцениваться при установленном значении Z на любом удобном уровне. В случае, когда У не является независимым но полезности от Z, бессмысленно говорить о функции полезности на У и построение функции и(», •) значительно усложняется. При этом условные функции полезности от У при z=zr и при 2=2", т. е. и(% zr) и и(\ z") соответственно, не являются стратегически эквивалентными. Каждая из них должна 'быть построена полностью отдельно от другой, так как знание одной дает мало информации о другой.
