Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2. Тогда значение и в любой точке кривой равного предпочтения N должно быть равно нулю.
3. Выберем произвольную точку Л с координатами (у, z).
4. Используя независимость по
полезности Z от У, а также из- рИс. 5.5. Условие взаимной независи-вестные значения Ud, ug и им, выразим uF через Uh и Up.
5. Аналогично, выразим ик через ин и Up, используя известные значения Uj, UD и Um-
6. Используя независимость по полезности У от Z, а также соотношения между Uj, Ub и ик, выразим иА через Uq и uf.
Поскольку значения Ug и uf уже известны, доказательство можно считать завершенным. Если точка А была первоначально* выбрана так, что она не содержится в области, ограниченной точками С, H9 P и M9 то доказательство ,может быть аналогичным^.
Теорема 5.3. Если YuZ — взаимонезависимы, то
и(у9 г)= ШУ..»)-я(Ц. (5.26>
l + ku(y0, Zn (у))
1. и (i/o, Zo)=O.
2. Функция zn(y) определена так, что (у, zn(y)) ~ (у0, Z0).
где
3 k = и (у0, Z1)^u (yv Z1) — и(у0, гп Jy1)) (5 27^
гс^ (#ь Z1) — такое произвольно выбранное последствие, которое? неравноценно последствию (у0, Z0).
Доказательство. Определим функцию Zn(у) таким образом, чтобы она описывала кривую равного предпочтения, т. е. чтобы множество пар {(у9 zn(y)) для всех у} являлось кривой равного предпочтения для всех значений фактора У. Установим значение полезности для кривой *> равного предпочтения и начальное
*} Для того чтобы конкретизировать функцию и(у, z) для любых значений у> необходимо задать лишь одну функцию zn(у), удовлетворяющую вы<-Ражению (5.28).
8* 227
значение функции и (у, z) следующим равенством:
и(У. *п(у))=0. (5.28)
Обозначим через Z0 значение гп(у0). Тогда, очевидно, и(у0, Z0)= О, -что согласуется с начальным значением функции и в теореме 5.2. Следовательно, чтобы найти функцию и(у, Zq)1 можно вычислить значение функции и (у, г), определяемой выражением (5.16), в точке (у, zn(y)) и решить полученное уравнение относительно Му, гв):
и (у, Z0) = ~и(Уо> гп(У)) (5.29)
\ + ku{yQt Zn(у))
Теперь, подставляя (5.29) в (5.16) и перегруппировывая соответствующие члены, получаем
и (if, S) = M(Jh, з)+ ~ц(Уо> *п(у)) + Vi/, ; \v*> '^l+ku(y09 zn(y)) ^
+ ku(y0f z)\ -uiy«> Zn(y)) ] = u{y°> 2)~ц(Уо> Zniy)) . (5.30) W 7U + Ь (y0, гп (y)) J 1 + Au (y0, zn ДО)
Для того чтобы определить значение /г в выражении (5.24), необходимо знать значение и(у\, Z0). Оценим значение полезности и(У\> z\) для такого произвольного последствия (уи Zi), которое неравноценно последствию (у0, ?о). Подставляя полученное значение полезности в (5.30), находим
V l+te(y,f Zn to))
откуда перегруппировкой получаем искомый результат.
5.4.3. Мультипликативное представление. Полилинейная форма в теореме 5.2 при условии кфО имеет также и эквивалентное мультипликативное представление. Покажем это, проделав следующие преобразования*):
и'(у, z)=ku(y, z)+l=ku(y0t z)+ku(y, Zo)+k2w(y0, z)u(y, Z0) + 1 =
= [ku(yt z0) + l][ku(y0l z) + 1] =u'(y9 Z0)u'(y0, z). (5.31)
В тех случаях, когда ?>0, функции и!(у, Z0) и и!( у0, z) являются условными функциями полезности для факторов Y и Z9 соответственно. Когда &<0, эти функции являются функциями полезности, взятыми со знаком минус. Таким образом, если два фактора взаимонезависимы по полезности, то их функция полезности может быть представлена либо в мультипликативной форме, если кФО, либо в аддитивной форме, если k = 0.
5.4.4. Аддитивное представление. Представляется интересным исследовать случай, когда значение k в выражении (5.16) равно нулю. В этом случае полилинейное представление сводится к аддитивному, которое обсуждалось в § 5.3. Следующая теорема позволяет разъяснить эту замену.
*> Используемый ниже штрих над и не означает взятие производной.
228
Теорема 5.4. Если YuZ взаимонезависимы по полезности и, креме того,
< (УЬ *з) , (04, Z4) > ~ < (Уъ, Z4) , (J/4, ZZ) >
при некоторых значениях уъ, у4, z3, z4, таких, что последствие {у%> z%) не равноценно ни последствию (уъ, Z4), ни последствию (уа> то справедливо следующее представление функции полезности:
и (у, г)= у (у, Z0)+и (у о, Z)9 где функция и(у, z) нормализована условиями:
1. и(уо, Zo)=O,
2. и(уи Z1J = I при произвольных значениях у{ и г\, таких, чте (Уи *о)>(«Ль г0) и (у09 Z1)Xy0, Z0).
Замечание А. При сделанных выше предположениях иная форма функции полезности задается выражением (5.17) с соответствующими условиями нормализации и равенством krz — 0.
Замечание Б. Необходимо пояснить различие в теоремах 5.1 и 5.4. В теореме 5Л требуется, чтобы было выполнено условие равноценности лотерей <(у9 z)9 (у'9 z')>~<(y9 z')9 (у'9 z):> для всех последствий (у9 z). В теореме 5.4 требуется, чтобы это условие равноценности выполнялось лишь для одного набора из четырех точек. Однако, конечно, обе эти теоремы предполагают наличие взаимной независимости факторов по полезности.
Доказательство. Приравняем ожидаемые полезности указанных лотерей:
72и(#з, Z3) + 1^(уа, г4)=х\2и{уЪ9 z4)+42u{y4l z3).
Подставив вместо значений полезности их представление в полилинейной форме (5.16) и проведя необходимые сокращения и перестановки, получаем следующее уравнение:
