Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
5.2.2. Раскрытие понятия независимости по полезности. Прежде чем продолжить изложение, попробуем выяснить, каким образом понятие независимости по полезности позволяет значительно облегчить построение функций полезности. Если нас, например, интересуют предпочтения імежду векторами (у, г), для компонент которых справедливо у°^у^у* и zc^z^z*t тогда при отсутствии каких-либо упрощающих допущений функция полезности должна быть построена непосредственно на всей заштрихованной области на рис. 5.3, а.
Теперь предположим, что У не зависит по полезности от Z. Тогда в общем случае условные функции полезности и(% г), аргументом которых является (переменная у, при различных уровнях z должны представлять собой положительное линейное преобразование одной и той же функции от у. Следовательно, как будет показано дальше, -знание полезностей последствий, лежащих на жирных линиях рис. 5.3, б, может предоставить достаточное количество информации для полного определения и. Это означает, что нам достаточно 'будет построить и согласованно шкалировать три условные функции полезности, каждая из которых зависит только от одного фактора.
Пусть теперь Z не зависит по полезности от У, но У не является независимым по полезности от Z. В этом случае функция по-
218
лезности и может быть полностью определена в результате построения трех условных функций полезности (рис. 5.3, в), каждая из которых зависит только от одного фактора. При этом условные функции полезности и (у, •), описывающие изменение и по Z при
Рис. 5.3. Упрощение построения функции полезности с помощью независимости по полезности
1 1
I I ' —ч-
I О ? я у у б) ' у
Y
различных уровнях у, связаны между собой положительными линейными преобразованиями. С учетом обозначений, указанных на рисунке, в иллюстративных целях можно считать, что
и(У2> z)=ki + k2u(yx, г) для всех г. (5.8)
Условная функция полезности и(у19 •) известна, поскольку она уже была найдена, а константы k\ и k2 могут быть вычислены при подстановке в выражение (5.8) последствий (у2, z1) и (у2, z2)r полезности которых известны. Получаемые таким образом простые уравнения легко решить. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены ниже.
Теперь предположим, что У и Z не зависят по полезности друг от друга. Это условие будем называть взаимной независимостью по полезности. Тогда, взяв в качестве отправной точки рис. 5.3,6, легко увидеть, что две условные функции полезности и(у°, •), ^(У*, •)> зависящие от Z1 должны быть связаны между собой положительными линейными преобразованиями. Следовательно, вместо нахождения значений функции и (у*9 •) для всех z необходимо установить значения полезности лишь в двух точках и на их основе определить подходящее преобразование. Таким образом, если У и Z взаимонезависимы по полезности, то для полного определения функции и необходимо лишь построить две условные функции полезности (с согласованными значениями) и найти значение полезности последствия (у*, z*). Последствия, значения полезности которых требуется найти, выделены на рис. 5.3,г жирным цветом.
Действительно, в тех случаях, когда факторы взаимонезависимы по полезности, мы свободны в выборе любых произвольных условных функций полезности и(-9 г1) и и(у\ •)> а также полез-
219
ности любого последствия (у2, г2). Этого нам достаточно для определения значений функции и(уу z) от всех уу z. Благодаря этому можно выбрать такие значения у\ z\ у2 и г2, которые позволят упростить для лица, принимающего решение, построение его функции полезности. Другими словами, ему может оказаться удобнее построить функцию и(-у z1), чем поскольку с
последствиями вида (у, zl) он имел дело значительно чаще. Рисунок 5.3,5 показывает, что необходимо оценить в этом случае.
В тех случаях, когда факторы взаимонезависимы по полезности и, кроме того, справедливо допущение об аддитивности, которое будет описано ниже, полное нахождение функции и(у, z) от всех у, z может быть осуществлено при помощи всего лишь двух условных функций полезности для тех последствий, которые выделены на рис. 5.3,е. Такие функции полезности для двух факторов являются простейшими из всех тех, которые могут быть получены без упрощения формы условных функций полезности для одного фактора, а также в отсутствие различных допущений о возможностях замещения, аналогичных допущению о постоянстве коэффициента замещения, рассмотренному в гл. 3. Таким образом, на рис. 5.3е выделено то, в некотором смысле минимальное, количество последствий, полезность которых действительно требуется оценить для определения значений функции и (у, z) во всех точках (уу z).
В следующих параграфах будет проведено обсуждение различных видов функций полезности, обусловленных соответствующими наборами допущений, начиная с простейшего случая (рис. 5.3,е). После полученных в этом направлении результатов будет предложена процедура проверки используемых допущений и построения соответствующих функций полезности. В конце для иллюстрации будет приведен пример прикладного характера.
5.3. АДДИТИВНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И АДДИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
