Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*> Поскольку рассматривается случай двух факторов, данную функцию полезности можно было бы назвать билинейной. Однако в гл. 6 такое представление обобщается на случай п факторов. Поэтому в этой главе также выбран термин «полилинейная».
224
ности от фактора У, и используя значение полезностей uD, Ub и иву выразим ис через uF и ин-
5. Теперь значение полезности иА выражено через известные значения полезностей ив, uF и ин.
Если точка Л была первоначально выбрана так, что она не содержится в области, ограниченной точками D9 F9 G и H9 то, на* много изменяя наши рассуждения, мы пришли бы к такому же результату. Опираясь на проведенные построения, докажем следующее утверждение.
Теорема 5.2. Если YuZ взаимонезависимы по полезности, та функция полезности от двух аргументов YuZ является полилинейной, в частности функция и может быть представлена в виде
и(уу г)=и(у, z0)+u(y0y z)+ku(yy z0)u(y0y z) (5.16)
или
u(y9 z) = kYuY(y) +kzuz{z) + kYZuY,(y)uz(z)y (5.17)
где
1. Функция u(y, z) нормализована условиями u(y0j Z0J = O ш и(у\, Zi) = I для таких произвольных уь z\, что (уь z0)y>(y0t z0> и (уо, Z1)Xy1, Z0).
2. uY (у) — условная функция полезности на Y, нормализованная равенствами uY(y0) = 0 и uY(y\) = l.
3. uz(z) — условная функция полезности на Z, нормализован* ная равенствами uz(z0) = 0 и uz(z\) = L
4. kY = u(yh Z0).
5. kz = u(y0, Z1).
6. kYZ = 1—kY-kZ И k = kYz/kYkz.
Доказательство. Зададим точку начала отсчета функции и(уУ z)
и [Уо, z0)=0 (5.18)
Вычислим значение функции, задаваемой (5.14) в точке у=Уо, и (Уо, Z)=Cv(Z)+C2 (z) и (у0у Z0) = C1 (z). (5.19)
Подставим (5.19) в (5.14) и вычислим в произвольной точке
у і фуъ
и(уи z)=u(y0y z)+a(z)u(yu Z0)f
откуда
Подставляя (5.19) и (5.20) в (5.14), получаем "(У. г) = и(уй9 г)+ и(Уі> г\-и(У*> g> и (у, Z0) для всех г. (5.2If
Аналогично, находя значение функции и(уу z)y которая задается выражением (5.15), последовательно в точках Z=Z0 и произвольной точке Z1=^z0, получаем
= г0) + и(У' Zl]-u(V' 2о)и(у0, z) для всех у. (5.221
и\уму Z1)
8—67 225
Пользуя-ев выражением (5.22) в точке у = У\ и подставляя полученный результат в (5.21), приходим к выражению
и(у9 z) = u(y09 z) +
_ч , "(ft. ч) — и(уі> *о) / ч / ч
*о) +-——гт-"(Уо. г) —а(у0> z)
__|_ і _и (Уо > zi)
"(</> ^0) :
Z0)
+ Г«(*. ^-«fr, у-«fr. Z1) і 23
L Z0)M(^0, Z1) jv/^u/
Равенство (5.23) может быть записано в виде выражения (5. Ґ6), где k — эмпирически оцениваемая константа, которая задается следующим образом:
^а(Уі> ч) — ииі**о) — и(уй> h) (5 24)
z0)w(y0, Z1)
Чтобы шкалировать (т. е. выбрать шкалы их измерения) условные функции полезности нужным нам образом, ©ведем функции My и Uz в соответствии со следующими условиями:
kyUy{y)=u(y, Z0) и kzuz = u(y0, Z)9 (5.25)
тде kY и kz — положительные шкалирующие константы, а функции Uy и Uz шкалированы в соответствии с утверждениями теоремы. Тогда, подставляя (5.25) в (5.16) и определяя kyz — kkykz, получаем (5.17). Из (5.18) и (5.25) следует, что начальными значениями функций Uy и uz должны быть ТОЧКИ Wy(^o)=O и Uz(Zo)=O соответственно. Необходимо подчеркнуть, что никаких других ограничений на функциональный вид условных функций полезности Uy и Uz не накладывается.
5.4.2. Использование кривых равного предпочтения *>. Поскольку проведение анализа с учетом лишь одного фактора может оказаться для лица, принимающего решение, непривычным, построение некоторых условных функций полезности, необходимых для использования выражения (5.16), может вызвать затруднения. Однако при этом иногда удается построить кривую равного предпочтения (кривую «безразличия»), которая представляет собой совокупность точек, одинаково предпочтительных для лица, принимающего решение. В этом параграфе будет показано, что вместо одной из условных функций полезности в теореме 5.2 можно использовать кривую равного предпочтения, если она построена в той же области последствий.
*> В данном параграфе рассматривается иной способ оценки функции полезности для факторов, -не зависящих друг от друга по полезности. Этот способ основан на использовании уже построенной кривой равного предпочтения. Этот параграф может быть при чтении пропущен без ущерба для понимания оставшейся части главы. Однако тогда придется пропустить и другие параграфы, в которых используется іпонятие кривых равного предпочтения. Они будут выделены.
226
мости «по полезности позволяет полностью определить функцию и(у, z) на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями и точкой P
Для скалярных факторов У и Z на рис. 5.5 представлена reo-метрическая интерпретация такой замены. Докажем, что если Y и Z -взаимонезависимы по полезности, то знание значений условной функции полезности вдоль жирной вертикальной линии и в ярка выделенной на рисунке точке, а также кривой равного предпочтения позволяют однозначно определить функцию полезности и (у, z) на соответствующем пространстве последствий.
1. Зададим и на L9 положив U0 = 0, и найдем значение иР для последствия Р.
