Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Условия существования аддитивной функции полезности являются достаточно жесткими. Они исключают возможность изменения предпочтений лица, принимающего решение, в отношении значений одного фактора при различных значениях другого. Во
*) Напомним, что лотерея, обозначенная <Л, Б>, имеет равновероятные исходы А и В.
222
многих случаях имеет место зависимость предпочтительности различных значений одного фактора от различных значений другого. Например, рассмотрим предпочтения фермера относительно желаемого числа солнечных и дождливых дней. Эти предпочтения обусловлены влиянием погодных условий на урожай. В такой ситуации следует ожидать, что предпочтения фермера относительно числа солнечных дней будут различными в зависимости от выпавшего ранее количества осадков. Такая взаимозависимость предпочтений не может быть выражена аддитивной функцией полезности. В следующих параграфах будут предложены некоторые более общие виды функции полезности для двух факторов, которые допускают определенные типы их взаимодействия.
В § 5.8 будет проведено обсуждение процедур и приемов, при помощи которых может быть, во-первых, проверено допущение об аддитивной независимости, во-вторых, построены соответствующие функции полезности для отдельных факторов и найдены значения шкалирующих констант.
5.4. СЛЕДСТВИЯ ВЗАИМНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПОЛЕЗНОСТИ
В этом параграфе будут установлены возможные функциональные формы для функции полезности при взаимонезависимости по полезности факторов У и Z. Сначала покажем, какие ограничения накладывает это допущение на вид 'функции и (у, z). Затем обсудим, каким образом в получаемой функции учитываются возможные виды взаимозависимости предпочтений лица, принимающего решение, для двух факторов.
В представленных в этом и следующих параграфах теоремах и доказательствах четко выделено, что именно необходимо найти с помощью эмпирической оценки для полного определения функции полезности. Поэтому получаемые результаты оказываются более громоздкими, поскольку нас интересует не только чисто математическая их сторона, но и аспекты, связанные с эмпирической оценкой.
В гл. 5 и 6 представлены формальные алгебраические доказательства теорем. Хотя такие доказательства позволяют получить результаты, справедливые для общего случая, они не столь наглядны, как менее формальные. За счет некоторой потери общности -могут быть получены более наглядные доказательства. По. этой причине, в некоторых случаях, особенно в начале обсуждения независимости по полезности, в дополнение к основным алгебраическим будут предложены более наглядные, но менее формальные доказательства.
Из выражения (5.7) видно, что допущение о взаимной независимости по полезности формально может быть выражено через функции полезности следующим образом:
и (у, z) =€i(z) +c2(z) и (у, Z0) для всех у, Z, (5.14) 223
при произвольно выбранном значении г0, и
и(У9 zl=di(y)+di(y)u(y0t z) для всех у, Z9 (5.15)
при произвольно выбранном значении у0. Выражение (5.14) показывает, что фактор У не зависит по полезности от фактора Z9 а (5.15), что Z не зависит по полезности от У.
5.4.1. Полилинейная функция полезности. В случае, когда У и Z взаимонезависимы по полезности, функция полезности и (у9 z) может быть представлена в полилинейной форме *>
u (у, Z) = kYUy (у) +kZU2(z) +kyzuy (у) u2 [z) ,
где функции и, Uy и uz имеют одинаковое начало отсчета и обладают согласованными шкалами (согласованно шкалированы) за счет выбора согласованных значений шкалирующих констант ?у>0, kz>0 и kYz- Число аргументов у каждой из функций Uy
и uz меньше, чем число аргументов у исходной функции и. Поэтому, если сформулированные допущения оказываются справедливыми, конкретное построение функции полезности и упрощается.
Геометрическая интерпретация этого результата для случая, когда У и Z являются скалярными величинами, представлена на рис. 5.4. При спра-Y ведливости указанных допущений по-
п - . Х7 „ лезность любого последствия, принад-
Рис. 5.4. Условие взаимной не- ' r ^
зависимости по -полезности поз- лежащего выделенному пространству
воляет полностью определить последствий, однозначно определяется
функцию и (у, z) на основе зна- относительными полезностями тех по-
чений полезности последствий, следствий, которые выделены на ри-
выделенных на рисунке сунке жирньщ цветом>
Покажем, что это действительно так. Обратимся к рис. 5.4 и проделаем следующее:
1. Построим функции ы(-, Zq)9 и (уо, •) и и (уг, Zx)9 обладающие согласованными значениями.
2. Для каждой точки Q (где Q моЖет принимать значения A9 B9 H) обозначим значение функции и в ней символом uQ. Пусть А представляет собой произвольное последствие (у, Z)9 обозначим и(у9 z) через Ua-
3. Выразим иА через ив и Uc. Это можно сделать на основе соотношений между Ud9 иЕ и uf9 поскольку фактор У не зависит по полезности от фактора Z.
4. Значение ив нам известно, но не известно значение uq. Поэтому, принимая во внимание, что фактор Z не зависит по полез-
?____ I
Z ff А —1--- I ---к 1
U
Уд У
