Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
122. Некоторые общие теоремы, относящиеся к производным.
В последующем важную роль играет различие между „замкнутым" и „открытым" интервалом. Замкнутым интервалом (а, Ь) называется множество значений х, для которых а^х^Ь. Открытый интервал определяется неравенствами а<г^х<^Ь (т. е. является замкнутым интервалом без концевых точек)1).
Мы будем рассматривать функции непрерывные в замкнутом интервале (а, Ь) и дифференцируемые в открытом интервале (а, Ь). Иначе говоря, мы будем предполагать, что наша функция ер (х) удовлетворяет следующим условиям:
(1) ер (л;) непрерывна для а^х^й, причем непрерывность в концах интервала понимается в смысле, разъясненном в конце п. 99;
(2) ер'(х) существует для каждого х, для которого а<^х<^Ь.
Может показаться странным, что в одном условии интервал предполагается замкнутым, а в другом — открытым, но мы увидим, что это различие играет важную роль. Ясно, что если мы ничего не знаем о в (х) вне (а, Ь), то мы ие можем распространить условие (2) на конпы интервала без некоторых дополнительных определений.
Начнем с теоремы, относящейся к частному значению х.
ТЕОРЕМА A. Если 9'(X0)^O, то ер(*)<^ер(х0) для всех значений х, меньших X0, но достаточно близких к нему, и ер (х) ^> ер (х0) для всех значений х, больших ха, но достаточно близких к нему.
') Мы могли бы определить полузамкнутые интервалы неравенствами " <. X ^ b или a ^ X < Ь, но мы не будем применять этн термины.
1.5»
меньший по модулю угол, косинус и сииус которого равны соответственно
— и — , то X -j- at = р С іs 0 и X — а(=р Cis (—6), так что
P P
D*= у (- 1T" ^>-"_1 ICis (я + I) в - Cis { - (« + 1) 0 } ] = = (— 1)" я! (х- + а-)- ("+^ sin { (я + I) arc tg |.
Диалогично,
D" афё = (-1)" п^ + ааГ1/2(Л +1> cos {(n+l) arc tg ~ } .
16. Доказать, что
Dn COiX = I Pn сos ^ + \_ л_j + 0п sjn ^ + !_ naj J ^„-^
D„ sin_x = j pn s.n ^ + 1 ^ ^ + _1_ ^ j
где Pn и On — многочлены относительно X степеней соответственно я и я— 1.
17. Вывести формулы
dry (Py dy д {d*y\*
dx 1 tPx dl? d3x dx*dx~ [dl?
228
Глава шестая
Действительно, -———^-:—— стремится к положительному пределу со' (х0) при h—*Q. Это может иметь место только в том случае, когда cp(x0-\-h) — Cp(^0) и h имеют одинаковые знаки при достаточно малых значениях h, а это и составляет утверждение теоремы. С геометрической точки зрения результат, конечно, очевиден, так-как неравенство ер'(х)^>0 означает, что касательная к кривой образует положительный острый угол с осью х. Читателю следует сформулировать соответствующую теорему для того случая, когда ср' (*)<0.
Утверждение теоремы А мы будем формулировать так: ер(х) строго возрастает при X = X01).
Следующая исключительно важная теорема известна под именем теоремы Ролля.
ТЕОРЕМА В. Если ер(х) непрерывна в замкнутом и дифференцируема в открытом интервале и ее значения на концах интервала а и b равны, то в открытом интервале найдется точка, в которой ер' (х) = 0.
Мы можем предположить, что
9(0) = 0, 9(/3) = 0,
так как если ц>(а) = ц>(Ь) = к и кфО, то мы можем рассмотреть функцию ф(х)— k вместо <р(х).
Имеются две возможности. Если 9(х) = 0 во всем интервале (а, Ь), то q>'(x) = 0 для а<^х<^Ь и утверждение очевидно.
Если же, с другой стороны, q>(x) не всегда равна нулю, то существуют значения х, для которых она либо положительна, либо отрицательна.
Допустим, например, что функция в некоторых точках положительна. Тогда ф(х) имеет точную верхнюю грань M в (а, Ь) и q>(x) = M для некоторого $ из (а, Ь) (по теореме 2 п. 103), причем очевидно, что E не равно ни а, ни Ь. Если бы 9' (S) было положительно или отрицательно, то, по теореме А, вблизи ? существовали бы значения х, для которых у(х)~^>М, что противоречит определению М. Следовательно, 9'($) = 0.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если <з?(х) непрерывна в замкнутом и диф' ференцируема в открытом интервале и 9'(х)^>0 для всех х в открытом интервале, то q>(x) является строго возрастающей (в смысле п. 95j функцией от х в этом интервале.
Мы должны доказать, что 9(^1)^9(?) для a X1 <^ X3 Ь. Предположим сначала, что а <^ X1 <г^ х.г <^ Ь.
1J Ср. пример 19 на стр. 204—5.
Производные и интегралы
229
Если 9(^) = 9 (X2), то, по теореме В, между X1 и X2 должно существовать такое значение х, для которого 9' (х) = 0, что противоречит нашей предпосылке.
Если же ф (х,) ^> ер (х2), то, по теореме А, существует такое х3, близкое к X1 и большее его, что 9 (х3) ]> 9 (X1) ^>9 (х2), и, следовательно, по п. 101, такое X4 между X3 и х2, что 9(Xj)=^(X1). Отсюда, по теореме В, следует, что существует значение х между X1 и X4, для которого 9' (х) = 0, что опять противоречит нашей предпосылке.
Таким образом, 9 (xi) <С9 (^)-
Остается распространить неравенство на случаи, когда X1 = а или Xi = Ь. Из уже доказанного следует, что
?(*)<?(*')
если а<^х<^х'<^Ь, так что 9(х) строго убывает, когда х приближается к а справа. Следовательно,
9 (a) = Hm ср(х)<9(х')
л- -> а л- 0
