Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
16. Если ср (х) = xs sin — при хфО и ср (0) = 0, то
«' (лг) = 2 лг sin —--cos — ,
• ' лг лг
если лг^О и ср' (0) = 0. Далее, ср'(х) разрывна при X = 0 (см. п. 112 (2)).
17. Найти уравнения касательной и нормали в точке (лг0, Jf0) к окружности лг8 -{-у3 = а2 и привести их к формам хх0 4-JfJf0 = а- и, соответственно,
XJf0-JfAT0 = O.
18. Найти уравнения касательной и нормали в любой точке эллипса
-;-г--^г=1 И ГИПербоЛЫ--, — TT= 1.
19. Уравнениями касательной и нормали к кривой x = f(t), jf = ib(^) в точке, которой соответствует значение параметра t, являются уравнения
=^!г' {х ~4 •'{t)+{у ~ •т ''(0=°'
121. Повторное дифференцирование. Исходя из со' (х), мы можем -образовать новую функцию ср"(Ат) так же, как из ер(х) мы образовывали ер' (х). Эта функция называется второй производной или вторым дифференциальным коэффициентом ер(х). Вторая производная функции _у = ср(х) может быть записана в любой из следующих •форм:
В*У' [TxJ У' Tk-'
Аналогично мы можем определить п-ую производную или п-ый дифференциальный коэффициент функции j/ = ep(x), которые могут быть записаны в любой из следующих форм:
in) , . Id \» dny
* 5W» D">" [Tx) У' —
dxn'
Общая формула для я-ой производной данной функции может быть, однако, найдена лишь в отдельных специальных случаях. Некоторые из этих случаев приведены в следующих примерах.
Примеры XLV. 1. Если ср(х) = хт, то
со(") (х) = т (т — 1) ... (т — п + 1) хт~п.
Эта формула дает нам возможность записать я-ую производную любого многочлена.
Производные и интегралы 225
[dx] (х — а)Р к '
А"2—4' (Х-I)(A-— 2)' (А"— 1)*(А-"+2)'
(Элгз. 1930, 1933, 1934 гг.)
/ d \ 71 Xs
6. Показать, что значение (^j -j- при х = 0 равно 0, если я четно,
и равно —я!, если я нечетно и больше 1.
(Элгз. 1935 г.)
7. Теорема Лейбница. Если у есть произведение uv и мы можем образовать я первых производных от и и о, то мы можем образовать я-ую производную от у с помощью теоремы Лейбница, содержащей следующее правило:
(UV)n = UnV+(^ Я ^un-1 V1 + ( 2 )«*-Л+ ••• +(") *-г»г+----1-"?.
где индексы обозначают дифференцирование, так что, например, Un обозначает я-ую производную от и. Для доказательства теоремы заметим, что
(UV)1= U1V + UV1,
(Uv)2 = U2V + 2M1O1 + м»2 и т. д. Очевидно, что повторяя этот процесс, мы придем к формуле вида (av)n=anv + Un^1Un-1V1 + an,2 an_2v2+ .. . + a„,r un_rvr+ ... +Uvn.
r j для /* = 1, 2, ... , я —¦ 1 и докажем, что если это
так, то an+1>r= ~^ для /•=1, 2, ... ,п. Применяя метод математиче-
ской индукции, получаем, что ап,г=^\ для всех встречающихся значений я и г.
При образовании (яо)„+1 дифференцированием (uv)n мы легко убеждаемся в том, что коэффициентом при an+1_rvr будет выражение
г J \г—1/ \ /• это и доказывает теорему.
15 Г. Харди
2. Если с? (х) = (ах + Ь)т, то
tp(n) (х) = м (и — 1) ... (от — я + 1) а™ (ал- + ?)"1-™.
В этих двух примерах т может иметь любое рациональное значение. Если т—положительное цело? число, то ср(л) (х) = 0 для п>т.
3. Формула
.PJP + 1) ••• (Р + я — 1)/4 (Л' —а)Р+«
дает нам возможность записать я-ую производную любой дробно-рациональной функции, представленной в виде суммы простейших дробей.
4. Доказать, что я-ая производная функции ^-равна
І- (я!) { (1 -A-)-""1 + (-If(I+ Jf)-*"1} •
5. Найти я-ые производные функций
X +1 х* 4х
226 Глава шестая
W! x»-» / (х) + я т—^т^т ^+1/' (X) +
(м—я)! у v (от— я+1)!
, я(я-1)___m[_ т-п+»гы ,
+ 1-2 (т-я + 2)! * 7 ( ,+
причем ряд должен быть продолжен до (п-\- 1)-го члена, если он не обрывается раньше.
9. Доказать, что Djcosx = cos ^x+я-j , Z>" sin х = sin ^x +у .
10. Найти я-ые производные функций
COS2 X sin X, COS X COS 2х COS Зх, X3COSX.
(Экз. 1925, 1930, 1934 гг.) (
11. Если у = Л cosmx + Ssinwx, то D%y -j- т2у = 0. Если
_у = Л cos /их-)-,6 sin отх + /•*„ (¦*)>
где Р„(х)—многочлен степени я, то Dx+iy + msDx+1y = 0.
12. Если X2D^ + хОхУ +_у = 0, то
x°-D?-у + (2я + 1) xDnx+i у + (я2 + 1) Dnxy = 0.
[Дифференцировать я раз н применить теорему Лейбница.]
13. Если ?/„ обозначает я-ую производную функции
Lx+M___ Xі'—2Bx+ С
то
х*-2Вх + С 2(х-В) ,г/_0
(я +I)(IT+ 2) ^+2 + я + 1 +
(Эагз. 1900 г.)
[Сначала вывести уравнение при я = 0; затем п раз дифференцировать и применить теорему Лейбница.]
14. Показать, что если a=arctgx, то
и отсюда определить значения всех производных от и при х = 0.
(Экз. 1931 г.)
15. я-ые производные от -„—а—; и —¦—;—-. Так как
a- + Xs а% + х-
а2+ха 2i\x — ai x + aij' a2 + xs 2 U — *и ^+" х + а»7 ' мы имеем:
„/ д > (-іуя1[ 1 1_ 1
ЧяЧ X2У 21 I (X — аг)"+1 (X -t- аг)"+1 J '
її аналогичную формулу для ?>" ^2-Jj^j . Если р = У"ха + а2 и 9—наи-
8. я-ая производная xmf(x) равна
Производные а интегралы 227
dy dy ' dy- /dy\* ' dy* ldy\°
dx \dx \dx
