Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
V щ- VW-,- у да. <«w+<r-
2. Доказать, что
d I X Ї _ а2 _ d ( X \_ а-
dx\yа2+х2)(а2+х2У/*' а*\ Ya2^x2J (а2 — xs)J/-'
3. Найти производную у, если
(1) ax* + 2hxy + by- + 2gx + 2fy +с = 0, (2) х- +у* — 5ах-у-= 0.
120. D. Трансцендентные функции. Мы уже доказали, что
Dxsinx = cosA;, DxCOSX = — sinx
(см. пример XXXIX. 4).
При помощи теорем (4) и (5) п. 114 читатель легко найдет, что
dx tg X = sec2 х, dx ctg X = — cosec5x,
dx sec X = tg X sec x, dx cosec x = — ctg x cosec x.
Этот результат может быть также выведен как следствие из примера XXXVI. 3. Действительно, если ср(х) = хт, то мы имеем
, . . ,. (x + h)m — хт .. %т~хт
ср (х) = hm -—!—~--= hm „ = mxr х.
а-о п 5-л: ч — х
Ясно также, что и более общая формула
(ах -f Ь)т = та (ах + Ь)т^
имеет место для всех рациональных значений т.
Дифференцирование неявных алгебраических функций связано с некоторыми теоретическими трудностями, к которым мы вернемся в гл. VII. Но практическое вычисление производных таких функций осуществляется весьма просто; метод их дифференцирования достаточно проиллюстрировать на примере. Допустим, что у задано с помощью уравнения
хъ ~\-уъ — Ъаху = 0. Дифференцируя по х, найдем:
*¦+>¦?—('+*?)=«•
и, следовательно,
dy_ X2 — ay
dx у2 — ах'
Примеры XLIIL 1. Найти производные следующих функций:
222
Глава шестая
При помощи теоремы (7) мы можем легко найти производные обратных круговых функций. Читателю предлагается проверить следующие формулы:
Dx arc sin X = -j-; -—--1--, ?),. arc cos X = =р 1
Dxatctgx = T:~i Dx^zzigx = — T~, Dx arc sec x = ± — 1 , Dx arc cosec x. 1
'хУх*—і' x хУх'—і'
В случае функций arc sin x и arc cosec x должен быть взят знак, совпадающий со знаком cos (arc sin х), а в случае arc cos х и arc sec х — знак, совпадающий со знаком sin (arc cos х).
Весьма важны также и следующие более общие формулы:
Z),arcsin- = ±-7=i==, D^arctg- = ^^, а у a2 —Xs а x2-j-a2
которые легко выводятся из теорем (6) и (7) п. 114. В первой из
них знак следует брать совпадающим со знаком a cos (arc sin ~), так
как
1 / х* г-
а у 1 —= zh у а1 — х'1,
в зависимости от того, положительно а или отрицательно.
Наконец, с помощью теоремы (6) п. 114 мы можем дифференцировать сложные функции, состоящие как из алгебраических, так и из тригонометрических функций. Таким образом, мы можем вычислить производные таких функций, как приведенные в ниже следующих примерах.
Примеры XLIV1). 1. Найти производные функций
cosmx, sinCTx, cos(xm), sin(xm), cos (sin x), sin (cosx).
У a- cos2 X -j- ba sin8 X9
cosx sin X
У a- cos2 X -j- b2 sins X
X arc sinx + yi — Xs, (1-r-x)arctgyx — Ух.
2. Продифференцировать
• -¦/T-5 і і ¦ ч і cosx . a4-b cosx
arc sml/ 1 — X2, tg (arc sin x), arc tg ^—r—-— , arc tg -—^-.
r 6 ' 6I-J-SInX* 6 b -J- a cos X
(Экз. 1926, 1929, 1930 гг.)
J) В этих примерах m означает рациональное число, а а, Ъ, ... , a, (j, ... имеют такие значения, что содержащие их функции вещественны. Неоднозначность знака не указывается.
Производные и интегралы 223-
Y ас — Ъг У'ас —9 Y—a
У If — ас 5. Показать, что каждая из функций
2arcsinl/^, 2™?/? arc sin ^SpEH V а— р 0 T а — X а — р
имеет производную
У> — X)(X- J3)
6. Доказать, что
d / •i/"cos39\ і/ " 3 .{arccos[/^|=J/.
rf9 (, г cos3 9) Y cos 9 cos;
7. Показать, что
1 d Г 1 AC (ах8 4- сП 1
(Загз. 1904 г.)
Г \/~С(ах* + с)-\_
УС(Лс —aC)dx|_ ' с (A**+ C)J (Ax* + С) У ах2 + с '
8. Каждая из функций
1 a cos X -f- Ь 2
V а2—*2 аГС C0S а + Ь cos х' У а2—i2 *& I f а + имеет производную
а -4- і cos X "
9. Если X= a -j-і cosx-p-с sin X и
1 яЛГ — а2 + ?2 + с2
V = — -arc cos- J--,
Y dr — b* — <? ХУ У-+с*
то
dy_ J_ rix-
10. Доказать, что производная функции F {f [ф (х)] } равна
Я? (*)]}/'[?(*)] ?'(*),
и распространить результат на более сложные случаи.
11. Если и и V — функции от х, то
„ . я vDxu — uDxv D^arctg — = ——i^- •
х ^v u + v
12. Производная функции у = (tg х -f- sec х)т равна my sec х.
13. Производная функции у = cosх-\-і sinx равна (у.
3. Продифференцировать
• j. і X , а 4-х
arc sin X 4r arc cos х, arc tg х -\- arc ctgх, arc tg j——^-
и объяснить, почему результаты дифференцирования имеют столь простой вид„
4. Продифференцировать
1 ах-\-Ь 1 ахЛ-Ъ
яте tp — —! —,----arc sin - '
14. Продифференцировать xcosx, ?!?5. Показать, что значения х, при
224
Глава шестая
sin X
которых касательные к кривым j»=xcosx, j» = —_— параллельны оси х,
ЯВЛЯЮТСЯ СООТВеТСТВеННО КОРНЯМИ уравнений CIgX=Jf, tgx=x,
15. Нетрудно видеть (см. пример XVII. 5), что уравнение sin х = ах, где а ,положительно, не имеет действительных корней, кроме х = 0, если a ^ 1, и имеет конечное число корней, которое возрастает при убывающем а, если й<1. Доказать, что значениями а, при которых число корней изменяется, являются значения cos і, где ? является положительным корнем уравнения ig S = ?. [Искомыми являются значения а, при которых у = ах касается кри< вой у = sin лг.]
