Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 87

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 191 >> Следующая


Но tp (х) не имеет производной при jc = 0. Ибо 9' (0), по определению, должно было бы быть равным lim ' т w или lim sin -^, но этот предел не существует.

Известно, что непрерывная функция от х может не иметь производной ни для одного значения х; однако, соответствующие примеры значительно сложнее. Читателя, который заинтересуется этим вопросом, мы отсылаем к курсу Bromwich, Infinite series {изд. 1-е), стр. 490—1, или Hobson, Theory of functions of a real variable (изд. 2-е), т. II, стр. 411—12*).

(3) Понятие производной или дифференциального коэффициента было подсказано нам геометрическими рассмотрениями.» Но в самом понятии ничего геометрического нет. Производная ер' (х) функции 9 (х) может быть определена вне зависимости от какого бы то ни было геометрического представления функции 9(лг) соотношением.

і , \ і- 4>(x+h) — 9 (х) л —о ™

причем ф(лг) имеет или не имеет производную для каждого данного, значения х, в зависимости от того, существует этот предел или нет. Геометрия кривых является лишь одним из многих разделов математики, в котором понятие производной имеет приложения.

Другой важной областью приложения является динамика. Допустим, что» материальная точка движется прямолинейно так, что ее расстояние в данный момент t от некоторой фиксированной точки прямой есть 9 (t). Тогда „скоростью точки в момент f называется, по определению, предел

9(/+ft)-9(Q ft

при «—0. Понятие „скорости" является лишь частным случаем понятия производной функции.

Примеры XXXIX. 1. Если у(х) — постоянная, то у'(х) = 0. Дать геометрическое толкование этого результата.

2. Если 9 (jc) = ах -j- b, то 9'(jc) = o. Доказать это 1° из формального-определения и 2° из геометрических соображений.

3. Если 9(jc) = jcm, где т — положительное целое число, то 9' (jc) — = тхт~1.

[Действительно,

9' (jc) = lim (*+яГ-*от = Ит ^тхт-х + ^-=^) X^h+ ... + .

Читатель должен отметить, что этот метод неприменим к jcp/,?, где ~ — рациональная дробь, потому что (jc-)- Kf/ч не может быть представлено в виде конечной суммы степеней ft. Дальше (см. п. 119) мы увидим, что утвержде-

Производные и интегралы 211

• А

ч(х + Н)—ч(х) S1" 2

—-!—г—= —r~ cos

ft ft

2

а пределом этого выражения при является cosx, так как

Hm cos ^x -j- -у j = cos X (вследствие непрерывности функции COSX) и

. ft

sinT

Hm —;— = 1 "2

(пример XXXVI. 13).]

5. Уравнения касательной и нормали к кривой у = ср(х). Касательной к кривой в точке (х0, у0) является прямая, проходящая через эту точку и образующая с OX угол і>, для которого tg ср = ср' (х0). Ее уравнением поэтому будет

У— Уо = ?'(•*(>)•(•* — *о);

уравнением нормали (прямой, перпендикулярной касательной в точке касания)

будет

<Р' (*о)-(У — У в) + X — *о = 0.

Мы предполагаем, что касательная не параллельна оси у. В противном случае очевидно, что уравнением касательной будет X= X0, а уравнением нормали у =у0-

6. Написать уравнения касательной и нормали в любой точке параболы

„ 2а а

х2 = 4ау. Показать, что если X0 = —»У а — ¦> то уравнением касательной

а

в точке (хе, у0) будет X = ягу-)-—.

113. Мы видели, что если ср (л;) разрывна при некотором значении х, то она не может иметь производной при этом значении х.

Например, такие функции как -і- или sin і, которые не определены при X = О и, следовательно, разрывны при этом значении х, не могут иметь производной при х = 0. Подобным образом функция [х], разрывная при всех целочисленных значениях д:, не имеет производной ни при каком таком значении х.

Пример. Так как [х] постоянна между любыми двумя следующими друг за другом целочисленными значениями х, ее производная, если она существует, имеет значение нуль. Таким образом, производная [х], которую мы можем обозначить через [х]', является функцией, равной нулю для всех зна-

14»

ние примера остается в силе и для всех рациональных значений т. Пока же читатель найдет поучительным для себя вычислить ср' (х) при частных дробных

значениях т ^например, »z=-^-j путем каких-либо специальных приемов.]

4. Если cp(x) = sinx, то ср' (х) = cos х\ если ср (.*:):= cosx, то ср'(х) =— sinx. [Например, если cp(x) = sinx, то мы имеем:

212

Глава шестая

чений х, отличных от целочисленных, и ие определенной для целочисленных

біп tzx

значений х. Интересно отметить, что функция 1 — ^ обладает в точности теми же свойствами.

В примере XXXVII. 7 мы видели также, что наиболее часто встречающиеся типы разрывов таких простейших функций как многочлены, дробно-рациональные или тригонометрические функции связаны с соотношениями вида

с? (.*:)->>+00

или ср (х) —>--оо. Во всех таких случаях производная не существует для некоторых частных значений х.

Ч

Я R

(а)

/I)

ICl п;

Фаг. 35

Таким образом, все разрывы функции ер (х) являются также разрывами и ее производной ер' (л;). Но обратное предложение неверно, как мы легко увидим, если вернемся к геометрической точке зрения п. 111 и рассмотрим тот частный случай, до сих пор исключавшийся из рассмотрения, когда график ер (л;) имеет касательную, параллельную OY. Этот случай может быть подразделен на целый ряд случаев, наиболее типичные из которых представлены на фиг. 35. В случаях (с) и (d) функция двузначна с одной стороны от P и не определена с другой стороны. В таких случаях мы можем рассматривать два множества значений ер (х), которые принимаются ею с одной и с другой стороны от Р, как определяющие разные функции Cp1 (х) и ер2 (х), причем верхняя часть кривой соответствует Cp1 (х).
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed