Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 88

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 191 >> Следующая


Читатель легко убедится сам, что в случае (а)

ср (х 4- h) — а (х)

_

при /z~-v 0, а в случае (Ь)

OO

Cf (x 4- ft) —¦tf (x)

в случае (с)

h

¦ «Fi (х)

ft

¦ оо;

Cf2 (x 4" щ - CCj (х)

--оо,

Производные и интегралы 213

а в случае (d)

?i (X+ К) — ?1 (X) ъ (х+К) — ъ(х) і _

_ v_ со, а vi-со,

хотя, так как в (с) могут приниматься во внимание только положительные, а в (d) — только отрицательные значения А, в этих последних случаях не может быть речи о существовании производной как таковой.

Мы можем получить примеры, иллюстрирующие эти четыре случая, рассматривая функции, определенные соотношениями

(а) У = (Ь) У = —л:, (с) У= Л", (d) у = —j:

в точке Л" = 0.

114. Некоторые общие правила дифференцирования. В следующих далее теоремах мы предполагаем, что функции/(х) и F(X)

имеют производные / (х) и F' (х) для рассматриваемых значений х.

(1) ?сли <p(x)=f(x)-\-F(x), то ер(х) имеет производную

ср' (X)=/ (X) + F' (х).

(2) ?сли ер (х) = ?/(х), где ? — постоянная, то ер(х) имеет производную

Ср'(х) = а/(х).

Вывод этих результатов из общих теорем примера XXXV. 1 мы оставляем в качестве упражнения читателю.

(3) Если ер(x)=f(x)F(x), то ер(х) имеет производную

cp'(x)=/(x)F (X) 4-у (X)F(x). Действительно,

ср' (х) =lim fJ?±-V~ ix+ h)-f (X)F(X) _

= Hm {/(X + h) l^tll^L + F (X)/t«+»WWj = =/(x)F(x)4-F(x)/(x).

(4) Если cp(x) = * и /(x)=?0, ото ер(лг) имеет производную

J (X)

r(X)- {f(x)V

Действительно,

'/ \_г 1 f(x)~f(x+n)_ /'(X) ср (х)_ Hm т 7 (]с + Д) / (jc)- _ - .

f (х)

(5) ?<;і« ср(х) = тЛ-^ м F(x)^0, то ер(х) имеет производную

Г (X)

аЧгЛ _f (X)F(X) - f (X) F' (X) с. (X) _ {РЩ* *

214 Глава шестая

1J Доказательства во многих руководствах (как и в первых трех изданиях этой книги) недостаточно строги. См. заметку проф. Карслоу (H.S. Car-slow) в Bulletin of the American Math. Soc, XXIX.

г) Ошибка нестрогих доказательств заключается в том, что эта возможность не учитывается.

Это сразу следует из (3) и (4).

(6) Если cf(x) = F{f(x)\, то cf(x) имеет производную

Cf1Cx) = F1If(X)If(X).

Доказательство этой теоремы требует некоторого внимания J). Положим f(x)=y, f(x-\-h)=y-\- k, так что k~* О при ft->-0 и

X-*/(¦*)• (1)

Мы должны различать теперь два случая.

(a) Допустим, что / (х) ^tO и что h мало, но не равно нулю. Тогда кф 0, в силу (1), и

ср(X+ К) — ф(х) _ F(y + k) — F(y) k F, (y)f(x).

(b) Допустим теперь, что /(лг) = 0 и что h мало, но не равно нулю. Здесь имеются две возможности. Если A = O3), то

<f(x+h) — <f(x) h

Если кфО, то

? (л:+ я)-с (л:) _ ^ (у 4-k)~F(у) _k_ h k ft '

Первый множитель в правой части почти равен F' (у), а второй мал,

k - ~ Cp (х + ft) — со (*-) так как——v0. Следовательно, ——!—^-1 4 мало во всех слу-

Ji(?±^)pl(fL^ о =F' (у) / (х).

Наша последняя теорема требует нескольких слов для предварительного разъяснения. Предположим, что х = <]>(у), где <р(у)— непрерывная и строго возрастающая (или убывающая) функция (см. п. 95) в некотором интервале значений ,у. Тогда мы можем писать y = cf(x), где ср является функцией, „обратной" (см. п. ПО).

(7) Если у = ер (лг), где ер — функция, обратная «р, так что X = ^ (у), и ср (у) имеет производную ty' (у), которая не равна нулю, то Cf (х) имеет производную

Действительно, если ер(х +-h) =у-+ k, то ?-»-0 при A-^O и - (х) = Ит rjx+h)-*(x) _(y+k)-zy_ 1 _

Производные и интегралы

215

115. Производные комплексных функций. До сих пор мы предполагали, что _у = ср(х) является действительной функцией от х. Если у является комплексной функцией ер (х) -f-і <]* (х), то мы определяем производную у как ф' (х) -}- Щ' (х). Читатель легко убедится в том, что теоремы (1) — (5) предыдущего пункта сохраняют силу и для комплексных ф (х). Теоремы (6) и (7) обладают аналогами для комплексных функций, которые, однако, опираются на общее понятие „функции комплексного переменного". Мы сталкивались чишь с некоторыми частными случаями этого понятия.

116. Обозначения дифференциального исчисления. Мы уже

говорили о том, что производная часто называется дифференциальным коэффициентом. Часто применяются не только другой термин, но и другие обозначения; производная функция _у = ф(х) обозначается еще следующим образом:

о* ?.

Из этих обозначений второе является наиболее удобным и применяется чаще всего; однако, читатель должен отдать себе ясный

отчет в том, что ^ не обозначает „некоторое число dy, деленное на некоторое число dx"; этот символ обозначает „результат некоторой операции Dx или ~, примененной к функции _у = ф(х)", причем эта операция заключается в образовании частного

?(¦*+ д> — ?(х) h

и в переходе к пределу h~+0.

Конечно, такое специальное обозначение не было бы принято без особых оснований. Его обоснование заключалось в следующем. Знаменатель h дроби

у (х-)- h)—ср (х) л

является разностью значений x-\-h и х независимого переменного х; аналогично, числитель является разностью соответствующих значений ср (х + Щ, 'г(х) зависимого переменного у. Эти разности можно назвать приращениями, соответственно, X и у и обозначи?ь через Sx и 8у. Тогда дробь принимает
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed