Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Wia/'
Условившись об этом, выберем некоторую точку А в X. Барицентры семейства с носителями в X суть точки G, удовлетворяющие соотношению вида
AG=?xtAAt, (3)
i-1
П
где 2 h1=81 и (V/) Ai е X. При этом соотношение (3)
4. БАРИЦЕНТРЫ
93
влечет за собой AG е Vzci(AM)и потому Gq sAff(A) (см. предложение 3.7). Обратно, если G — точка из Aff (X), то найдутся точки Аи .Ая, принадлежащие А, и скаляры Я,, ..., Я„ (с суммой,
П
необязательно равной 1), такие, что AG = J]XiAAii это соотношение также записывается в виде
п ____________________ п
AG Я*ЛЛ* с Яо = 1 — Я; и Лд := Л^
г=0 i=l
таким образом, G есть барицентр системы с носителем в X. ?
? Определение 4Л. Подмножество Ха & называется аффинно порождающим если Aff (Z) = <$\ оно называется аффинно свободным, если любая точка Mi из АН(Х) единственным образом представляется в виде
п п
М = ? ^А,, где ? Яг = 1 и при любом /.
i=i »=i
Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репе-ром ')•
Выбирая начало А в А и полагая ХА={AM \ М еА}, легко видеть, что X аффинно свободное (соотв. аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда ХА свободное (соотв. множество образующих). (Напомним, что Vect(A4) не зависит от выбора А.) Отсюда вытекает
Предложение 4.6. Для того чтобы подмножество А пространства & было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы А не содержалось ни в какой афинной гиперплоскости в 8.
Наконец, применяя предложение 3.7, получим
1) Чаще в понятие репера включают требование упорядоченности системы образующих его точек, ** Прим. перев,
96 гл. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Предложение 4.7. Если <§ — аффинное пространство конечной размерности п, то любой его аффинный репер образован п + 1 точками.
Обратно, для того чтобы п + 1 точек в $ образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы п векторов А0А1 (1^/^я) образовали базис Е, или (эквивалентное условие) чтобы точки Л0, Ль ...
Ап не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.
Заметим, что если Т есть ЛАМ конечной размерности в <Г и (Л0, Аи ..., Ар) — аффинный репер в Т9
р р
то Т есть множество точек 2] А;Л* с 5] А* = 1. Этот
?=0 ? =0
способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки Л, В в <^, есть множество точек АЛ + (1— А) В (А е К).
Характеризация аффинных подпространств
Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества Р точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит Р.
? Теорема 4.8. Для того чтобы непустая часть Т пространства Е была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы
a) если К ф Z/2Z — любая прямая, соединяющая две точки Т, содержалась в Т\
b) если К = Z/2Z — эквибарицентр любых трех точек Т лежал в Т.
Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в Т точку Л и покажем, что V = {АМ \ М^Т) есть ВПП пространства Е.
а) Предположив, что К ф Z/2Z, установим прежде всего, что условия (йеК и А €= К) влекут А и е V. Действительно, по предположению существует точка
Ве/, такая, что АВ=^и. Точка С, определенная
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИНПЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 97
условием АС—Ли, принадлежит прямой (АВ) и, значит, Т, откуда следует, что Хи е V.
Рассмотрим далее два любых вектора и = АВ и V = АС в V и выберем & е К \ {0, 1} (что возможно, так как К не сводится к {0, 1}). Точки В' = Л + к~1и и С' = Л4-(1— к)~1 V (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а потому и Т. Следовательно, точка /) = кВ' + (1 — к)С' = Л + н + и принадлежит Т, откуда й + веУ. Итак, Р есть ВПП в В.
Ь) Если К = Z/2Z, то тривиальным образом (X, и)е еКУ.У влечет Хи е У (так как А, может принимать
только два значения 0, 1). Если и — АВ, а = ЛС — два вектора из V, то точка О, определяемая условием Ай = и + V, есть эквибарицент'р А, В, С, откуда и вытекает наше утверждение. ?
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
^ Определение 5.1. Пусть &, ОТ — два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами Е, /\ Отображение 8 называется полуаффинным (соотв. аффинным), если в 8
существует такая точка А, что отображение фЛ: Е ->
—. — ' ...
иь-*'1(А)1(А + и) полулинейно (соотв. линейно).
Предложение 5.1. Если в & существует точка Л, удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им
4 Ж. Лелои-Ферран
98 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
удовлетворяет любая точка & и отображение фЛ не Зависит от А.
Доказательство. Для любой пары (и, В)<= ЕУ^<% имеем в силу линейности фд
/ (В + и) = / (А + АВ + и) = / (А) + фл (АВ + и) =
= / (Л) + Фа {АВ) + Фа (и) = / (В) + Фа (и), что и доказывает требуемое. ?
^ Обозначения. Отображение фл обозначается /.(/) и называется полулинейной (соотв. линейной) частью /.
Истолкование. Фиксируем в & некоторую точку А и снабдим <?Г, ЗГ векторными структурами, принимая за начало в <§ точку Л, а в — точку f(A). Тогда / будет полуаффинным (соотв. аффинным) в том и только том случае, если ?(/) —полулинейное (соотв. линейное) отображение <%а в
