Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 29

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 95 >> Следующая

В частности, изучение полуаффинных (соотв. аффинных) отображений пространства & в себя, допускающих неподвижную точку Л, сводится к изучению полулинейных (соотв. линейных) отображений <§А в себя.
Так обстоит дело в случае гомотетий, проектирований и симметрий (см. ниже).
? Важно заметить, что полуаффинное (соотв. аффинное) отображение полностью определяется своей полулинейной (соотв. линейной) частью и образом одной точки.
Если Е, Т7— два векторных пространства, то полуаффинное (соотв. аффинное) отображение Ей/7 есть отображение вида /: х н-> ф (х) + &, где ф полулинейно (соотв. линейно), а &=/(0)—постоянный элемент.
Непосредственные следствия. Если & -+ЗГ полу-аффинно, то
1) Образ ЛАМ в & есть ЛАМ в ЗГ.
2) Прообраз ЛАМ в ЗГ есть ЛАМ в & или пустое множество.
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 99
3) Для любой системы (Ль взвешенных
точек Ж образ барицентра А/)/е/ есть бари-
центр $ (/ (Л/), 0 (Х1))1 е 7, где 0 обозначает изоморфизм тел, ассоциированный с /.
Применение аффинных реперов
^ Теорема 5.2. Пусть Ж, ^-—аффинные пространства над делами К, К', 0 —изоморфизм К на К', (Л/)7 е/ — аффинный репер в Ж и {В(). е 7 — семейство точек индексированное тем же множеством индексов /.
Тогда существует единственное полуаффинное отображение I пространства Ж в ассоциированное с изоморфизмом 0, такое, что /(Л/) = В* для всех 1*е /.
Более того, / биективно (соотв. инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство (В/)/еЕ/ есть аффинный репер (соотв. свободное семейство, семейство образующих) для ЗГ.
Доказательство. Вернемся к теореме II. 4.5, взяв одну из точек Л/ в качестве начала в а соответствующую точку В/ — в отображение f определяется равенством
/(Е/И|) = .Е е(*|) в,
для любого конечного подмножества / с= / и любой системы скаляров (*/)*<=/, таких, что, ^ х1=1. ?
^ В частности, аффинное отображение Ж в 2Г определяется заданием образа аффинного репера из Ж.
Приложение: уравнения аффинной гиперплоскости
или ЛАМ
Опираясь на исследование, проведенное в § 11.6, легко получаем
Предложение 5.3. Пусть Ж — аффинное пространство над телом К. Тогда
а) Если /: ЖК — непостоянное аффинное отображение, то /—1 (0) —аффинная гиперплоскость в Ж с направлением КегВ(/).
4*
100 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Ь) Обратно, если Ж— аффинная гиперплоскость в то существует аффинное отображение /: такое, что Ж — (0), и все аффинные отображения &
в К с этим свойством суть отображения х н-> / (х)
где к е /С*.
Если — аффинное пространство конечной размерности л, то каждое ЛАМ размерности р в & определяется системой уравнений вида /Дх) =0 (1 ^ ^ — р), где /«•— аффинные отображения & в /С, линейные части которых независимы.
Характеризация аффинных отображений
^ Теорема 5.4. Пусть $Г — два аффинных пространства над одним и тем же телом К. Для того чтобы отображение /: было аффинным, необходи-
мо и достаточно, чтобы
a) при А =т^= 2/27
(V (А, Б, Я) €= й X ^ X К)
/((1 — Я) Л + ЯВ) = (1 - Я) / (А) + Я/ (В);
b) при А = 2/22 образ эквибарицентра любых трех точек был эквибарицентром их образов.
Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8).
а) При фиксированной точке соотношение
а) показывает, что для любого вектора и — АВ направляющего пространства Е имеем
/(Л + Яи) = Ц(1 -Я)Л + ЯВ) = /(Л) + ЯЦЛ)/(Л + и).
Отображение ф: ы > / (Л) / (Л + «) удовлетворяет, следовательно, условию ф(Яы) = Яф (и).
Чтобы доказать, что выполняется и условие Ф (и + и) = ф (и) + ф (у) для любых (и, v)^E}<.E, выберем такие В, С, что АВ — и, АС — у и Я е К \ {0, 1}, определим точки В', С' условиями АВ' = Я-1и, АС' = = (1— Я)-1 д. Применяя условие а), получим тогда /(Л + и + н) = /(ЯВ' + (1 - Я)С')—Я/(В') + (1 — Я)/(С'),
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 101
откуда
Ф (и + и) = Аср (АВ') + (1 — X) ф (АС1) —
= Яф(Я_1^) + (1 — ^)ф((1 — ^)-1 а) = ф(и) + ф(и).
Рассмотрение случая Ь) предоставляется читателю (упр. III. 7). ?
Можно также сформулировать теорему 5.4 так: отображение & в ЗГ является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в & аффинно.
В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений (§ 9).
Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений
^ Теорема 5.5. Если !:&->&' — полуаффинное отоб-бражение и множество /(Н= {М ^ <^|/(А1) = М} его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством 1(Ь(1)) =Кег(?(/) —
— Ия), состоящим из неподвижных элементов отображения Ь(1).
С другой стороны, если <? конечномерно и ?(/) не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то / имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство. Если фиксировать 'Точку
_> >
условие 1(М) = М равносильно I (А) f (М) = / (А) М и,
—> —у-------->
значит, условию ф (АМ) — АМ = / (А) А, где ф = ?(/).
• Если А — неподвижная точка то М^1(!) равносильно АМ <= Кег (ф — ИЕ), откуда вытекает первое утверждение.
• Если Кег (ф — иЕ) — {0}, то отображение ф —ЫЕ инъективно и потому в случае конечной размерности Е биективно; в & существует единственная точка М,
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed