Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
ние / на О есть биекция В на прямую /(/)). Следовательно, композиция /(->/(?)), А (А + Ли) = = / (А) -{- р (Я) ср (и) биективна. Отсюда вытекает, что отображение р: К —? К' биективно.
Итак, р — изоморфизм тел, ф — полулинейное отображение, ассоциированное с р, и / — полуаффинное отображение. ?
Случай плоскости
Если Ж и <§' двумерны, то условие и) в теореме 8.1 следует из условия I) и инъективности /. Мы можем, таким образом, сформулировать
? Следствие. Если &' —- аффинные плоскости и
<8—инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в есть прямая в то / — полуаффинное отображение.
Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если /—инъективное отображение <?Г в себя, такое, что образ любой прямой О есть прямая, параллельная ?); тогда можно непосредственно доказать^ что / — дилатация (см. упр. III. 8).
9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ
Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию линейных аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:
^ Теорема 9.1. Пусть &, аффинные пространства над телами К, отличными от поля 2/22] для того чтобы отображение /: <§-+(§* было полуаффин-ным, достаточно, чтобы
1) Образ любой прямой в & был прямой в либо сводился к одной точке.
и) Аффинное подпространство в порожденное имело размерность ^2.
Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что [ удовлетворяет условиям 1) и и).
9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ \\J
Лемма 1. Если Y есть ЛАМ в <%, то f(Y) — ЛАМ в
Доказательство. Пусть А' = /(А) и B' = f(B)— две различные точки в f(Y). Тогда прямая (А'В') есть по условию і) образ прямой (AB); так как прямая (AB) содержится в Y, прямая (А'В') содержится в f(Y). Результат теперь вытекает из теоремы 4.8. ?
Лемма 2. Если Y' — ЛАМ в Й" и множество Y — = f~l(Y') непусто, то оно является ЛАМ в <%.
Доказательство. Результат очевиден, если Y сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек А, В ? Y прямая (f(A)f(B)) содержится в Yf согласно і). Таким образом, прямая (AB) содержится в Y и теорема 4.8 показывает, что Y есть ЛАМ. ?
Лемма 3. Для любой непустой части X пространства 8
A??(f(X)) = f(A??(X)). (1)
Доказательство. Aff(X) есть ЛАМ в 8, содержащее X; по лемме 1, f(A??(X)) есть ЛАМ в 8', содержащее f(X). Отсюда следует включение Aff (X) ) с= с: /(Aff (X)).
Аналогично, по лемме 2, f"1 (A?? (f (X)) есть ЛАМ в 8, содержащее f~l (f(X))f а потому и X; имеет место включение Aff (X) cz f~l (Aff (f (X))); применение отображения f дает
/(Aff (*))<= Aff (/(*)).
Окончательно получаем равенство (1). ?
Лемма 4. Пусть Du D2 — пара параллельных прямых в <8. Если f(Dі) сводится к точке, то же имеет место и для f(D2). Если /(Di)-— прямая, то и f(D2) — прямая, параллельная /(Di).
Доказательство. Мы можем предположить, что Dx Ф D2. Тогда Y — Aff (D{ U D2) есть ЛАМ размерности 2 в I, порожденное двумя точками А, В одной из прямых и точкой С другой прямой; по леммам 2
118 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
и 3, ЦТ) — А{{(/(Л), {(В), /(С)) есть ЛАМ размерности ^2.
a) Покажем сначала, что /(?>1) = /:(02) либо /ф,) П
Л/ф2)=0.
Допустим, что /ф^ и /ф2) действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки Ах е ?), и А2еВ2, такие, что / (А,) = / (Л2). Выбирая и
В2е?>2 \ {А2} и полагая по-прежнему 3^ — АГГф, и ?>2), получим с помощью леммы 3, что
/(Г) = АИ (/(А,), / (Аз), / (В,)) = АН (/ (А,), / (В,)) = / ф,) и аналогично
/(Л =*АИ(/(А,), /(А2), /ф2))=А?Ц/(А2),/ф2))==/ф2),
откуда /ф,) = /ф2).
Поскольку сформулированное утверждение при / ф^ — / ф2) очевидно, будем далее полагать / ф,) =,& =И=/ф2), т. е. считать, что /фО и /ф2) не имеют общих точек.
b) Предположим, что ?(Ох) — прямая в <?' и /фОП Л/Ф2) = 0; тогда /(Л имеет размерность 2.
Если бы на прямой й2 существовали две точки В, С, такие, что /ф) = /(С), то для любой точки АеД мы имели бы У = АИ(А,В,С) и /(Л = Aff(/(А), !(В)), и тогда /(У3) не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что /ф2) — прямая.
Значит, /фО и /ф2) — две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т. е. параллельные.
c) Если {{йх) сводится к одной точке, то, меняя ролями Е>1 и Д2 и применяя результат Ь), мы видим, что ^фг) также сводится к точке. ?
Лемма 5. Если (Р, Q) — пара точек в , таких, что множества /-1 (Р), /-1 (0) непусты, то /-1 (Р) и /-1 (С) — ЛАМ с общим направлением.
Доказательство. По лемме 2, /-1(Р) и (О) суть ЛАМ в &. Предполагая, что РфО., фиксируем точку А в У’ = /_1(Р) и точку В в ЗР = /!""1((3); параллельный перенос на вектор АВ обозначим через т. Для любой
9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ Ц9
точки М^Т прямая (Вх(М)) = (х(А)х(М)) параллельна прямой {АМ), и поскольку образ прямой (АМ)) сводится к одной точке Р, то образ прямой (Вх(М)) сводится к точке <2 = / (В). Таким образом, М <= Т влечет х (М) с= Ж и имеет место включение х (Т) с= Ж.
Меняя ролями Т и Ж, получим включение т“1 (Ж) с: Т, откуда х(Т) — Ж. Итак, Т, Ж имеют общее направление. ?
