Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 6. Обозначим через V общее направление непустых ЛАМ в & вида 1~1(Р), где и пусть
<?/V — факторпространство <? по отношению эквивалентности 91, определенному условиемА91В-*=>АВ^У.
Тогда <?/V имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция р: <§-+<?/V является аффинной.
Доказательство. Выбор начала А в <? сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства & а по его векторному подпространству V, и оказывается, что достаточно применить теорему II. 4.3, приняв точку р{А) за начало в &/У ?
Отметим, что <?/V является пространством орбит действия группы трансляций (V, +) на <§\ это есть множество ЛАМ с направлением V (см. § 2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение / представляется в виде / = где —
инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что / полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность g вытекают из того, что соотношение 1(А) — /(В) равносильно АВ^У (см. лемму 5), и тем самым р(А) = = р(В). Для доказательства полуаффинности ? покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть 9) — произвольная аффинная прямая в <У/У, порожденная двумя различными элементами а, р из <У/У Без труда проверяется, что р~1(9)) есть ЛАМ в <У, порожденное р~1(а)ир~1(Р)-
По лемме 3, ц(9У) — / (р“1 {к))) есть ЛАМ, порож-денное / (р-1 (а)) и / (р-1 (Р)) = ^ (а), § (Р)}; итак (в силу инъективности g), ц{ЗУ) является аффинной прямой <§',
120 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Наконец, &/V не может сводиться к одной точке или прямой, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и /V) — что противоречит условию
и). Поэтому (Шп(аг/10> 2.
Отсюда следует, что ? удовлетворяет условиям 1) и и), наложенным на /, при условии замены <§ на &/V. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении ? двух параллельных прямых 2)и из &/V — две параллельные прямые. Наконец, ? удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены & на &/V). Следовательно, ? полуаффинно и так же обстоит дело с/. ?
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. ?
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела К и К' совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда К = или К = ХР при рф2): в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга ^2 пространства & в <?'.
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия и): ведь любое отображение & на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае К = Кг — 2/22 условие 1) выполнено для любого отображения & в <?' (поскольку каждая прямая в & и <?' состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинеарны», даже при условии, что \ биективно.
Например, К2п-+Сп, {хи ..., хП9 уи ..., уп)*->
(х{ + /#ь ..., хп + /#„) есть биекция векторного пространства Р2л над Р в векторное пространство [С/1 над ?., и образ каждой прямой из Н2п при отображении I содержится в некоторой прямой пространства Сл, но / не является полулинейным (поскольку Р и С не изоморфны).
Глава IV
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Избыток аффинной геометрии в последние годы привел к забвению задач, при всей их естественности, которые связаны с центральным проектированием и теорией перспективы. Настала пора к ним вернуться, ибо с практической точки зрения проектирование имеет ключевое значение для хорошего пространственного представления. В теоретическом же плане они представляют естественное введение в проективную геометрию, которая лучше, чем аффинная, приспособлена к изучению некоторых видов задач (о коллинеарности и пересечениях, об алгебраических кривых),
Для начала мы изучим вкратце следующую задачу:
Задача о центральных проекциях !)
Пусть & — произвольное аффинное пространство, О — некоторая его точка и Ж, Звг — две гиперплоскости в &, не проходящие через О. Мы намерены изучить соответствие между Ж и Ж', устанавливаемое условием: «точка М в Ж и точка М' в Жг коллинеар-ны с О».
Если Ж и Ж' параллельны, то это соответствие определяет аффинную или полуаффинную биекцию Ж на Ж' (ограничение на Ж некоторой гомотетии с центром О).
Если же Ж и Ж' не параллельны, то это соответствие не определяет отображения Ж на Ж'\ точка М^Ж не имеет образа в Ж' в случае, когда прямая (ОМ) параллельна Ж'; точно так же и точка М' в Ж' имеет прообраз в Ж лишь в случае, когда прямая (ОМ') не параллельна Ж.
!) В трехмерном случае эта задача возникает при рассмотрении плоского рисунка.
122 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
? Для того чтобы сделать это соответствие биективным, достаточно присоединить к Ж и Ж' множества Ж», состоящие соответственно из направлений
принадлежащих им прямых, и определить отображение /: Ж\]Жоо-*Ж 11Жх> по следующим правилам:
a) если и прямая (ОМ) не параллельна
Ж, то ЦМ) есть точка пересечения прямой (ОМ) с Ж.
b) если М е Ж и прямая (ОМ) параллельна Ж', то \(М) есть направление прямой (ОМ) (элемент Ж'оо).
