Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В ВЕКТОРНОЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть снова Ж — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. Как мы уже видели, выбор начала в Ж позволяет отождествить Ж с Е\ теперь мы докажем, что Ж канонически отожде-
У автора: «divisions semblables» («подобные разбие-
ния»).— Прим. перев.
Рис. 3
106 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
ствляется с аффинной гиперплоскостью некоторого векторного пространства F, изоморфного Е X К.
Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке А её отображения fA: ё-+Е,Мь—>МА.
Предварительно сформулируем такое утверждение:
Лемма. Пусть Е — левое векторное пространство над телом К, а X — произвольное множество. Тогда множество Xе отображений X в Е есть левое векторное пространство над К по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:
f + g: х f (х) + g (х) и Я/: x^Kf(x).
(Проверяется непосредственно.)
В силу доказанного искомое векторное пространство F будет ВПП в ёЕу порожденным отображениями /л. Поэтому мы начнем с изучения этого пространства F.
? Предложение 6.1. Пусть -векторное подпространство в ёЕ, порожденное функциями fA: ё ->ЕУ
М\г->МА\ пусть, далее, /: ё->Е, —
элемент из F1). Тогда
a) Сумма зависит только от функции / и
притом линейно, т. е. является линейным отображением F в К, которое мы обозначим р.
b) Если р(/) Ф 0, то существует единственная точка Gg^, такая, что / =
c) Если р(/) = 0, то / постоянна.
Доказательство. Заметим сначала, что утверждение а) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек (Аи такие,
что /= Л но оно легко вытекает из того факта,
f с= Г 1
!) Заметим, что элементы Т7 называются «функциями Лейбница» и часто применяются в теории барицентров; однако если К не коммутативно, то эти функции лишь полуаффинны.
6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА Ю7
что для любой пары (М, Р) е Ж2 выполнено соотношение
!(Р)-!(М) = (?к)РМ, (1)
которое доказывает существование и линейность функ-
НИИ .(/).
b) Если 2 Ф 0, выберем в & произвольную
? €=: /
точку Р. Соотношение (1) показывает, что в & существует единственная точка б, такая, что /(О) = 0; она
определяется условием ^ 2 = !(?)• Из (1)
также видно, что эта точка — единственная, для которой (УМ е Ж) /(Л1) = ^ 2 ЛЮ. Таким образом,
барицентр семейства (А{, зависит только от
функции /.
c) Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1). ?
Следствие. В является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида Х/л ((X, А) <=
Предложение 6.2. Пусть / — отображение <§-+Р, Лн->/л, и пусть /0 — отображение Е в В, которое любому вектору це Е ставит в соответствие постоянную функцию, равную и на &.
Тогда / аффинно с линейной частью /0 и потому инъективно; при этом /(^Г) есть аффинная гиперплоскость Е\ в Е с уравнением ц(/) = 1.
Доказательство. Для любой пары (Л, В)^&2 разность / (В) / (Л) есть постоянная функция /в — /л:
МВ — МА = АВ\ положим /(В)/(Л) —/0(ЛВ). Таким образом, / аффинно, В(/) = /0 и / инъективно, как и /0.
С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции /л суть элементы / е В, удовлетворяющие условию р(/) =1. ?
108 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
^ Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству Ж, ассоциированному с векторным /(-пространством Е, можно канонически присоединить:
• векторное пространство Т7, изоморфное Е X К,
• ненулевую линейную форму р на F,
• аффинную инъекцию /: Ж-^F, такую, что ]'{Ж) — аффинная гиперплоскость в F\ с F с уравнением ц(х) = 1.
Доказательство. Остается только установить изоморфизм между F и Е X К. Для этого достаточно заметить, что, какова бы ни была точка А е Жу отображение EXK-^F, (и, X)i—>/o(w) + V-4 линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки А. ?
Заметим, что аффинная гиперплоскость F\ имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость Fo = Кег (р) = jo(E) постоянных функций, которая отождествляется с Е.
Замечания. 1) Векторную структуру на множестве Е U (К* У, Ж) можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству ЖЕ, но это связано с утомительными выкладками.
2) Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение /, единственным образом определяемое заданием Ж.
? Обозначения. Векторное пространство F, построенное таким образом, называется векторным продолжением Ж и обозначается Ж.
Если Ж имеет размерность /г, то размерность Ж равна п + 1. Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.
7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ПОГРУЖЕНИИ
Векторная интерпретация барицентров
Вернемся к обозначениям § 6. Инъекция / позволяет нам отождествить Ж с аффинной гиперплоскостью FА = {Li-1 (1) в F, в то время как ее линейная часть /0
7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ПОГРУЖЕНИИ
109
позволяет отождествить Е с векторной гиперплоскостью /7о = Кег(р).
Предложение 7.1. Пусть (Ль Хь)( е/ — конечное семейство взвешенных т*очек &, где точки Аь отождествлены с элементами Рх. Для того чтобы элемент У Х{А{ из Р принадлежал Рх (соотв. Р0), необходимо
