Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 33

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 95 >> Следующая

Ь\~
Ь2
А ? . (2) _0 ... О 1
где А — (ац) — квадратная матрица порядка п. Эндоморфизму ф с матрицей (2) соответствует аффинное отображение /: /ч ->/ч, координатное выражение которого в декартовом репере (еп+\; ей еп) имеет форму
(х) = Е хка1к + Ь1 (1 < г < /г). (3)
/г = 1
Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции ото-
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ИЗ
Сражений. С другой стороны, эндоморфизм ф с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство ф(Л) = = /71. Таким образом, получается
? Теорема 7.4. Группа аффинных биекций я-мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы СНД/С"*1), образованной матрицами вида
(2), где А принадлежит СЬ(Кп)-
В частности, группа аффинных биекций х ах + Ъ тела К изоморфна подгруппе в ОЬ(/С2), состоящей из Г а Ь
матриц вида ^ ^
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ИНЪЕКТИВНЫХ ПОЛУАФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Ниже мы обозначаем через <?Г, <§' два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами Е, Е' над произвольными телами К, КМы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений & в <§ГМ). Для ясности начнем со случая инъективных отображений.
? Теорема 8.1. Допустим, что сНт(<?Г) ^2. Для того чтобы инъективное отображение /: &-+&' было по-луаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:
1) образ любой аффинной прямой из & был аффинной прямой в <§'\
И) образы двух параллельных прямых были параллельными прямыми.
Доказательство. Необходимость условий очевидна. Доказательство достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что / удовлетворяет условиям 1) и И).
1) Доказательства в § 8 и 9 частично используют приведенные в ТРИ], но относятся к более общей ситуации (произвольное тело, необязательно конечная размерность). С другой стороны, применение теоремы 4.8 упрощает изложение (см. § 9).
114 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
a) Образы при / двух различных прямых ?>ь В2 из & суть также две различные прямые.
В самом деле, пусть ?>ь В2— прямые в <?> имеющие один и тот же образ f(Dl) =/(Ь2), и пусть Л, В— две различные точки их общего образа. Тогда прообразы /“1(Л), точек А и В принадлежат В\ и В2
одновременно и различны (в силу инъективности I), откуда следует, что = 1)2.
.>
b) Отображение срл: ? и ь—> / (А) / (А + и) не зависит от выбора А в <$.
В самом деле, пусть Б-—другая точка & и С, О —> —>
таковы, что АС — ДО = и. Если (ЛВОС) — несплющен-ный параллелограмм, то из п) и а) следует1, что его образ (/ (А) / (В) / (О) / (С)) — тоже настоящий параллелограмм, откуда
/(Л)/(С) = /(5)/ф), <рА(и) = <рв(и).
Если точки Л, В, С, Б принадлежат одной прямой то предположение б\т(<?)^2 позволяет выбрать в
точки Р, 0 так, что Р($ = и. Применяя предыдущий случай, имеем
жжс)=/(/>)/(?)=ОШВ),
откуда фл(«) = фв(ы)1.
Отображение фл обозначаем отныне просто ф.
с) Отображение ц> : Е-у Е инъективно и удовлетворяет условию
(V (и, о)«=?2) ф (и + о) = ф (и) + ф (о). (1)
Инъективность ф сразу следует из инъективности С другой стороны, для любых данных и, V выберем
в & такие точки А, В, С, что АВ — и и ВС = о. Тогда
ф (и + V) - /(Л)/(С) = /(Л)/(В) + Шпс)=ф)+ф). (1) Существует отображение р: К-у К', такое, что (У(Я, и)^КХЕ) ф(Ян) = р(А)ф(и). (2)
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ
115
Доказательство. Достаточно найти р, удовлетворяющее условию (2) при и Ф 0. Для заданной пары (Я, и)
выберем Л, В, С в § так, что АВ = и, АС = Ы. Так как точки А' = / (Л), В'=/ (В) и С'=/ (С) коллинеарны,
то коллинеарны и векторы Л/С/ = ф(Яи) и Л'В' — ф^); отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем 0(Я, и), т’акого, что ф (Яи) = 0(Я, ц)ф(и). Остается доказать, что 0(Я, и) не зависит от вектора и (по предположению ненулевого).
1) Если и, V —два неколлинеарных вектора, то не-коллинеарны и ф(и), ф(у); в противном случае образы двух прямых Ъь /)2, проходящих через одну и ту же точку Л с направляющими и, у, совпадали бы, что невозможно в силу а).
Для любого Я е /( имеем
Ф(Я(ц + и)) = ф(Яи) + ф(Яи) = 0(Я, ц)ф(ц) + 0(Я, и)ф(и)= ==6(А, ы+о)ф(м+о)=е(Я, м+«)(ф(м) + ф(«)), откуда в силу неколлинеарности ф(и), ф(и)
0(Я, ц) = 0(Я, и + у) = 0(Я, и).
2) Если и, V — коллинеарные ненулевые векторы, то предположение А\ш{Е)^2 позволяет выбрать хи так, что пары (и, XV) и (о, ш) свободны. Отсюда находим, что
ОАе/С) 0 (Я, ц) = 0(Я, иу) = 0(Я, с).
Так для каждого Я е/С отображение ?\ (0}->/С, и 0 (Я, и) есть константа, мы обозначим ее через р (Я).
е) Отображение р: К->К' является изоморфизмом тел.
Выбрав и^Е\ (0), мы увидим прежде всего, что соотношения ф ((Я + р) и) = ф (Яи) + ф и ф(Яри) = = р (Яр) ф (и) = р (Я) ф (ри) = р (Я) р (р) ф (и) влекут (с учетом ф (и) Ф 0)
р(А + и) = р(А) + Р(р) и р(Ац) = р(А)р(р),
т. е. показывают, что р — гомоморфизм тел.
Наконец, для любой точки Л е <§ отображение Я Л + Яи есть биекция К на прямую ?>; ограниче-
116 гл. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed