Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Au (t) - exp jj akk (h)dti (k=l, ... , n).
Последовательно интегрируя уравнения системы (3.13.1), убеждаемся, что
эта система имеет нормированную фундаментальную систему X(t) - [Xjk(t) ]
вида
xjb(t) - 0 (/<?),
хкк (t) - Ak (t),
t f- 1
xiU (t)=Aj (o 5 ajx a,) 2 a,s (t,) (m dt, a> a),
10 s = ft
/, k-\, ... , n,
(3.13.3)
где X(t0) = E. Умножая справа матрицу X (^ на подходящую постоянную
матрицу
-1 0 . . о -
с= С.ц 1 . 0
-Сщ спг • . 1 ..
можно получить нормальную фундаментальную матрицу (см. § 4)
X(t) = X{t)C (X(t) = [xik(t) ]), причем, очевидно,
хкк (t)-Ak(t) (к-\, ... , п).
Транспонированная обратная матрица
Y (0 = [X-1 (t))T=[yJk (/)]
является нормальной фундаментальной матрицей для сопряженной системы
dl = dt
AT(t)y.
Нетрудно видеть, что
Укк {Ч---------(t).
(3.13.4)
176
Пусть
ПЕРВЫЙ МЕТОЛ ЛЯПУНОВА
|гл. пт
у = шах х [Xjb (01 = Ч и
yJV(/i) 1 = max х [Уц, (О1 = %
(/?=1, п), где в силу теоремы Перрона (§ 12)
а/г -3д, = 0 (/?=1, .... п). (3.13.5)
Так как в состав решения х(,<) входит координата xkk (t)=- Afi (I), то
Ч^х [А" = (k = I, п). (3.13.6)
Аналогично в силу формулы (3.13.4) имеем
(k=\..........п). (3.13.7)
Складывая равенства (3.12.6) и (3.12.7) и учитывая формулу
(3.12.5), получим
О = ** + 0
т. е.
где
(k = \, ... п),
- н*/? (^ - 11 • • • >
t
\Н= Нт \ а**, (0) dti,
( оо с /
что и требовалось доказать.
2) Докажем теперь достаточность условий теоремы. Предположим, что
условия (3.12.2) выполнены.
Пусть Z (t) = \z]h(t)\ - система функций таких, что
'ih
(0=0 (j <fe),
(^) -- (0.
С - i ' ~ 1
= А; й) V (У>^)>
"ft '5==/'
у, /< = 1, ... , n,
zjh = ta, если 'ryt = + 00, если [ау^>[лл.
¦ (3.13.8)
где
и
§ 131 ПРАВИЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 177
Очевидно,
det Z (f") = 1.
Так как
I ! СО
СП l" t"
то система функций Z (/) отличается от фундаментальной системы X (/) тем,
что к входящим в нее интегралам прибавлены некоторые постоянные. Поэтому
Z (t) является также фундаментальной матрицей нашей дифференциальной
системы (3.12.1). Отсюда следует, что
Z(t) = X (I) В,
где
-1 0 . .. 0 -
в = j 1 .. 0
-bnl Ьпч ¦ .. 1 _
- постоянная матрица. Имеем
УЛгккУ)] = xlAk (/)] = u* (к = 1.п).
Далее, по индукции выводим, если
yjz^(0]<!4 (s = k, ..., / - 1;
то из формул (3.13.8), используя теорему о характеристическом показателе
интеграла и ее следствие (§ 1), получаем
/ [*у* (0]11Ai (*)] + X ИГ' (01 + max {х [a,s (01 + г [zs" (/)]} ^
< tV + (- р./) + pi, = |J.*.
Следовательно,
** = х[^(й)] = тахх[2/*(/)]<!Ч (k-\, •п).
Отсюда, полагая
178 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [171. ш
в силу неравенства Ляпунова получим
s = 2] Н Ss 2 S, к k
т. e. a* = {A* (k=\, ... , n) и
2 я* = 5.
h
Таким образом, построенная фундаментальная система Z (0 нормальная, а
значит, система (3.13.1) правильная.
Следствие. Если система (3.13.1) с действительной ограниченной
треугольной матрицей правильная, то средние значения ее диагональных
коэффициентов akk(t) дают спектр {а}, ..., *"} этой системы, т. е.
I
a* = lim Т \ akk (t^) dtk (k=l,...,n).
/ -*• со О
<о
§ 14. Теорема Перрона о триангуляции линейной системы
Пусть
jj=A(t)x (3.14.1)
- однородная система, где A(t)(^-C[t0, оо). Рассмотрим
фундаментальную матрицу X (t) = [xjk(t) 1, элементы которой, вообще
говоря, комплексные.
Лемма. Всякую фундаментальную матрицу X (t) можно представить в виде
произведения ¦ непрерывно дифференцируемых унитарной матрицы U (t) й
верхней треугольной матрицы R(t) с положительными диагональными'
элементами, т. е.
X(t) = U(t)R(t), (3.14.2)
где
U* (t)U(t) = E,
R(t) = [r/k(t)], rjj(t)> 0, rjk{t) = 0 при ?>/.
Доказательство. Для доказательства применим известный метод
ортогонализации Шмидта.
Пусть
= colon [xUl (t), ... , xnh (0] (k=\, , n)
- решения, входящие в фундаментальную матрицу A (t).
§ HI ТЕОРЕМА ПЕРРОНА О ТРИАНГУЛЯЦИИ ЛИНЕИНОЙ СИСТЕМЫ
Положим
:Хи', ек
179
:(1) __ *-(1) 0(\) ----- I'1' .
(2) ---- г(5) .
¦(jew, е(1))е(1),
w.
с(1) || 7 ? С* >
16"
(3.14.3)
П - 1
:(я) - .
2 (*<">, e(") = ||6 .
s = 1 'Si,
Так как решения x(k) (k=\, ... , ti) линейно независимы, то приведенная
конструкция всегда возможна. Нетрудно проверить, что вектор-функции e(s)
образуют ортонормированную систему
(e(s), e{r)) = bsr.
Из соотношений (3.14.3) получаем
лг(1) = || 1(1) || е(1),
ATta> = (jc(a), е(1)) е(1) -f-1| || e{i),
(3.14.4)
П - I
х(п) = 2 (лг(л), ei^^-f-llf1 \\е{п\
S "1
Следовательно,
где
X{t) = U(t)R(t),
U(t) = [e"\ ..., e^] = [esr]
¦ II l(l) II (x{i), е,) ... еу) -
R(t) = 0 Н1(2)!! . ••• (xin\ е,)
_ 0 .0 11ГМ1 -
U*(t) = [ers ]
Пусть
- эрмитово-сопряженная матрица для U (t). Учитывая соотношения
(3.14.4), имеем
U(t)U* (0 = [_?es.erj] = LS^j =Е.
180
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
(ГЛ III
Таким образом, матрица U (i) унитарная. Кроме того, из вида треугольной
матрицы R (/) непосредственно вытекает, что ее диагональные элементы
положительны: гц = || j.. Очевидно,
U it), R(l)eCl[t0, оо).
Лемма доказана.
Замечание. Если матрица X (/) вещественная, то матрица U (/)
