Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
действительная и ортогональная, а треугольная матрица R(t)
действительная.
Теорема Перрона (см. [26]). Всякую линейную однородную систему (3.14.1) с
помощью унитарного преобразования x = U (t)y можно привести к системе с
верхней треугольной матрицей, диагональные коэффициенты которой
вещественны'.
?t=B(t)y, (3.14.5)
где В (t) - [bjk(t)], bJk(t)= 0 при j^>k и lmb}j(t) = 0.
Если матрица A(t) ограничена на [/", оо), то треугольные матрицы В (/) и
U (/) также ограничены на [t{), оо).
Доказательство. Для доказательства используем способ Винограда (см.
[27]). Положим
x = U (t)у, (3.14.6)
где U (t) - унитарная матрица, определяемая формулой (3.14.2). Имеем
+ 0(t)y.
Следовательно, система (3.14.1) примет вид
%=В(()У,
где
В (/) = U 1 (/) А (/) U (/) - U-' {t) U (/). (3.14.7)
С другой стороны, на основании формулы (3.14.6) для фундаментальной
матрицы X (/) однородной системы (3.14.1) имеем
X (t) = U (t) У (t), (3.14.8)
где У (/)- фундаментальная матрица системы (3.14.7), т. е.
Y (t) = B(t)Y (t). (3.14.9)
Сопоставляя формулы (3.14.2) и (3.14.8), находим
У (t) = R(t),
§ И] ТЕОРЕМА ПЕРРОНА О ТРИАНГУЛЯЦИИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 181
где R(t)- верхняя треугольная матрица. Из формулы (3.14.9), учитывая, что
производная и обратная матрицы треугольной суть также треугольные матрицы
того же типа, выводим:
B(t) = Y (t) Y'1 (t) = R (t) R> (0 = R, (/), (3.14.10)
где Rx (i) - верхняя треугольная матрица.
Так как
[tf(0],7=lll,;)ii
(см. лемму), то из формулы (3.14.10) следует вещественность диагональных
коэффициентов
b-dt) : 'jt Iм • -~^ln Г' (/= 1......п). (3.14.11)
Выразим теперь матрицу В (t) через матрицу А (i). Прежде всего, заметим,
что матрица U~l(t)U(t) эрмитово-кососимметрическая. Действительно,
учитывая унитарность матрицы U (t), имеем
[ил (t) и (/)]* = о* (t) [U*(t)rl = J [и~* (0] -U(t)=
= - и-1 (t) О (t) U~l (i) U(t) = - U 1 (t) U (t).
Отсюда следует, что диагональные элементы матрицы U'1 (/) U (t) чисто
мнимые. Пусть
A(t) = U~l (t) A (t) U (t) = [ajk (/)].
Так как матрица В (/)= [6,•,,(/)] -верхняя треугольная с вещественной
диагональю, то, полагая V (t) = (t) U (t) = [v]k (/)], из
формулы (3.14.7) будем иметь
Vjj(t) = i\majj(t), -j
Vjk(t) = ajk(t) при />?, i (3/14.12)
Vjk(t) = - o-kj при /О j
Следовательно,
bjj{t)= Rea,7(/), 1
bjk{t) = 0 при j^>k, I (3.14.13)
bjk(t) = &jfi(t)-{-iikj(t) при j <&. J
Если матрица A (t) ограничена, то матрица A (t), очевидно,
также ограничена; отсюда на основании формул (3.14.12) и (3.14.13)
вытекает ограниченность матриц U (t) и В (i).
182 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ ги
Замечание. Если матрица A (t) действительная, то матрицу U (t) можно
выбрать действительной и ортогональной.
Следствие 1. Если система (3.14.1) правильная, то треугольная система
(3.14.5) также правильная.
Действительно, пусть яь я" - спектр системы (3.14.1) и
t
^ 7./= lim _L ReSp A ft) dt^
i ^°° * h
Из формулы (3.14.7) получаем Re Sp В (t) =
= Re Sp [U l (t) A (t) U(t)) - Re Sp [U~l (t) U (t)] = Re Sp A (t).
Отсюда, учитывая, что при унитарном преобразовании характеристические
числа решений сохраняются, будем иметь
t
Уау= lim ~ \ ReSp В (tt) dtu
t -> оо f .)
1 <о
что и доказывает правильность системы (3.14.7).
Следствие 2. Если линейная система (3.14.1) правильная, то для каждого ее
нетривиального решения x = x(t) существует строгий характеристический
показатель ([26])
а = lim -j- In ji л; (t)!!.
I -> со f
Пусть решение л: ft включено в фундаментальную систему X (t) и х (t) =
х{1) (t). Тогда на основании теоремы Ляпунова о правильности треугольной
системы (§ 13) и формулы (3.14.11)
имеем
t t lim у \ bn ft) dti = lim j- \ ~ In Ц l(U ft) |j dti =
t ^ со 1 J t ^ со 1 ,0 aii
to to
= lim ~ In !|§(1) (t)!]. / -*¦
Но по способу построения функций |(<г) (t) (см. лемму; =
= х({) (t) = x(t). Следовательно, существует
я== lim у In [j.jc (/) ||,
t -+ СО
что и требовалось доказать,
5 15] ТЕОРИЯ ФЛОКЕ 183
§ 15. Теория Флоке
Рассмотрим линейную систему
// у
~ = A(t)x (3.15.1)
с непрерывной (или кусочно-непрерывной) на (-оо, -|-оо) периодической
матрицей A (t):
A(t-\-">) = A(t) (ш>0). (3.15.2)
Теорема Флоке. Для линейной системы (3.15.1) с со-периодической матрицей
нормированная при t = 0 фундаментальная матрица решений (матрицант) имеет
вид
Х(/) = Ф(*)еА<, (3.15.3)
где Ф (t) - класса С1 (или кусочно-гладкая) со-периодическая
неособенная матрица, причем Ф(0) = ?, и А - постоянная матрица.
Доказательство (см. также [28]). Пусть X(t) - нормированная
фундаментальная матрица решений системы (3.15.1), где
Х(0 ) = ?. (3.15.4)
Матрица А(/-|-со) также является фундаментальной. Действительно, на
основании тождества
X(t) = A (t) X (t)
имеем
^-[Х(/ +"о)] = *(* + ">) JL (/ + ">) =
= A (t -|- со) X (t-|- со) = А (() X (t -|- со).
Следовательно, А" (/ -|- со) есть фундаментальная матрица решений для
системы (3.15.1).
Отсюда получаем
X (/-f "о) == X (О С, (3.15.5)
где С - постоянная неособенная матрица. Полагая / = 0 в тождестве
