Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
t -> CO 1 J
2) выполнено равенство Ляпунова
o = S. (3.11.5)
Достаточность леммы очевидна. Докажем необходимо с т ь ее.
Действительно, если система правильная и
t
S = lim -у { Re Sp A (/,) dtu
t-> oo P to
(
S = lim \ Re Sp A {tx) dtu
t -> CO 1 J
'o
то, используя формулу (3.11.3) и неравенство Ляпунова (§7), имеем
5 з = 5.
С другой стороны, очевидно,
S S.
Отсюда получаем
5 = 5 = 5 = о,
что и доказывает лемму.
Связь между правильными и приводимыми системами установлена Ляпуновым.
Теорема. Всякая приводимая линейная дифференциальная система является
правильной.
Доказательство. Пусть система (3.11.1) приводима (§8) и X (t) - ее
нормальная фундаментальная матрица. Согласно определению приводимости
существует матрица Ляпунова L (t) такая, что
X(t) = L(t)Ut), (3.11.6)
? П] ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 167
где Y (t) - фундаментальная матрица некоторой системы
% = ВУ
с постоянной матрицей В. Из соотнвшения (3.11.6) имеем det X (t) = det L
(t) • det Y (t).
Используя формулу Остроградского - Лиувилля (гл. II, § 3), получим
t
^ Sp A dti
det X (t0) еи = det Ь (t) ¦ det Y (to)e<~t ~ sp
Отсюда
t
^ Sp A ((j) dti
\e'° | = c ft) | det L(t) 11 & ~ '"> sp b |,
где
c(U) = i det [Y (to) X1 ft)] i,
т. e.
t
^ Re Sp A (t,) dti
e1" =c (t0) | det h (t) j e(t ~ *">Re sp b.
Следовательно,
t
~ J ReSp4ft) Л! = у ln{ <:(/") [det Л (01 } + (l-^)ReSpfl.
fo
(3.11.7)
Так как In | det L ft! есть величина, ограниченная на промежутке [to,
со), то из формулы (3.11.7) вытекает, что существует предел
t
S = lim i [ Re Sp A ft) dti - Re Sp B. (3.11.8)
^ > DO J <0
Кроме того, пусть ax изу - суммы характеристических показателей решений
фундаментальных матриц X и Y^ соответственно. Так как при преобразовании
Ляпунова характеристические показатели сохраняются, то, очевидно, имеем
ах = ау, (3.11.9)
причем, если матрица X нормальная, то матрица Y также
нормальная. Но для нормальной матрицы Y характеристическими
168 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА | ГЛ. III
показателями являются вещественные части корней X,- векового уравнения
det (В - кЕ) = О,
где каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность. Поэтому
Оу - V Re л,- = Re У\ >7 - Re Sp В.
/ /
Таким образом, справедливо равенство Ляпунова
ах== Re Sp В - S
и, значит, на основании леммы система (3.10.2) правильная.
Замечание. Если матрица A (i) действительная, то матрицы L(t) и В можно
полагать также действительными.
Покажем на примере, что правильная система может быть неприводимой.
Пример. Скалярное уравнение
"-Г * (t > 0)
dt
2 y~t
является правильным в смысле определения этого параграфа, так как общее
решение его есть
х = се1/7 (3.11.10)
и при сф 0 имеем
t
х [х] =0 = lim (t0 > 0).
t ^ со t ,) 2 I' ti
to
Однако это уравнение не будет приводимым, так как его общее
решение
(3.11.10) не имеет вида, предписываемого теоремой Еругина .(§
8).
§ 12. Теорема Перрона
Пусть
(1 ?
ai = A (3.12.1)
- линейная система с действительной или комплексной непрерывной
матрицей А (t).
Определение. Система
% = -A*{t)yL, (3.12.2)
где A*(t) = AT(t) - эрмитово-сопряженная матрица для A (t), называется
сопряженной для системы (3.12.1). Если матрица A (t)
§ 121
ТЕОРЕМА ПЕРРОНА
169
действительная, то A* (t) = AT{t), и, следовательно, для действи-
тельной системы (3.12.1) ее сопряженная система имеет вид
Очевидно, систему (3.12.1) можно рассматривать как сопряженную для
системы (3.12.2), т. е. системы (3.12.1) и (3.12,2) взаимно сопряженные.
Лемма. Для любых решений х и у взаимно сопряженных систем (3.12.1) и
(3.12.2) справедливо тождество
где у* - эрмитово-сопряженный ' вектор для у и с - некоторая постоянная.
Аналогично для фундаментальных матриц решений X - X(t) и Y = Y (t) этих
систем имеет место соотношение
где У*-эрмитово-сопряженная матрица для Y и С - постоянная матрица.
Обратно, если выполнено соотношение (3.12.4), где С - неособенная
постоянная матрица (det С -ф 0) и X - фундаментальная матрица системы
(3.12.1), то Y есть фундаментальная матрица сопряженной системы (3.12.2).
Доказательство. 1) Пусть вектор-столбец
является решением системы (3.12.2). Тогда вектор-строка
у *jc~(jc, У) = С,
(3.12.3)
Y*X~C,
(3.12.4)
У1
Уп
У* = [г/j, Уп\,
очевидно, есть решение системы
(3.12.5)
Из уравнений (3.12.2) и (3.12.5) получаем
170 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. Ill
Складывая последние равенства, будем иметь
* dx , dy* "
У Tt '~dfx ~u
или
~(у*х) = 0.
Следовательно,
y*x = c.
2) Так как фундаментальные матрицы X и У удовлетворяют уравнениям
X = A (t) X (3.12.6)
и
Y = - A*(t)Y, (3.12.7)
то аналогично доказанному выше имеем тождество (3.12.4).
3) Пусть справедливо тождество (3.12.4). Тогда
У' = (СХ"1)* = (Х*)-1С*, (3.12.8)
где X* удовлетворяет дифференциальному уравнению
X* = X*A*(t). (3.12.9)
Из формулы (3.12.8), используя формулу для производной обратной матрицы
(гл. I, § 7), имеем
Y = - (Х*Г'Х*(Х*)ЛС* = - (Х*Г1Х*Л*(/)(Х*)1С* = - A* (t)Yt причем
det У = det (X*)-1 • det С* = (det X)'1 • det С Ф 0.
