Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
место соотношение
S(* + ") = S(0 (3.15.15)
и, следовательно, | (t) - co-периодическое решение системы (3.15.1).
Обратно, из тождества (3.15.15) вытекает, что существует мультипликатор
р, равный единице.
Замечание 1. Полагая
р = еХш
и
S(/) = eAf (3.15.16)
из формулы (3.15.14) будем иметь
ея'/+ш)ф {t -f ш) = exu>ext(p (t),
т. е.
ф (/Д-и) = ф (/).
Следовательно, нормальное решение периодической системы имеет вид
(3.15.16), где ф (t) - co-периодическая вектор-функция класса С1 и
X = - Ln р
(О г
- характеристический показатель системы.
188 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
Замечание 2. Мультипликатору р--- 1, если он существует, соответствует
так называемое антипериодическое решение §(7)эе0 периода ш, т. е.
кн-<¦>) = -ко.
Отсюда имеем
К*4-2<о) = -к/4-(о) = ко,
и, таким образом, | (/) есть периодическое решение с периодом 2ш.
Аналогично, если р = ехр~- (р, q - целые; q ~э 1), то периодическая
система имеет периодическое решение с периодом Т - 2qш,
§ 16. Приводимость периодической линейной системы
Теорема Ляпунова. Линейная система с непрерывной периодической матрицей
приводима.
Доказательство. Согласно формуле (3.15.3) нормированная матрица решений
периодической системы (3.15.1) имеет вид
X (0 = Ф (0 ем,
где Ф (/) ^ С1 (-со, -(--со), причем
Ф (t -j- w) = Ф (О-
В силу периодичности Ф (t) и Ф (t) ограничены на (-со, +со). Кроме того,
так как
Ф(0 = Х(0 е~ и
и X (0 - неособенная матрица, то Ф (0 - также неособенная матрица.
Учитывая периодичность Ф(0, получим
inf j det Ф (0 | ^>0
при --оо <^t <^-|- оо.
Следовательно, Ф (t) есть матрица Ляпунова. В силу теоремы Еругина (§ 5)
периодическая система (3.15.1) приводима.
Замечание. Производя в уравнении (3.15.1) замену переменных
х = Ф (t)y~ X (0 е~А'у,
получим
ж = АУ- (З-161)
Таким образом, характеристические показатели являются корнями векового
уравнения матрицы системы (3.16.1).
Отсюда имеем следующие условия устойчивости периодической системы (ср. §
Ь).
ПРИВОДИМОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
189
Теорема, 1) Линейная однородная периодическая система с непрерывной
матрицей устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы рj
расположены внутри замкнутого единичного круга и ¦ 1. причем
мультипликаторы, лежащие на ок-
ружности ;р!=1, имеют простые элементарные делители, если их
рассматривать как собственные значения соответствующей матрицы
монодромии.
2) Для асимптотической устойчивости периодической системы необходимо и
достаточно, чтобы все мультипликаторы ее находились внутри единичного
круга pj<M.
Действительно, так как характеристические показатели Х;-связаны с
мультипликаторами ру- соотношениями (см. § 15)
X,-
(In i Pj I + i Arg pj),
то при
имеем Xy-sc; 0. Отсюда непосредственно вытекает наша теорема.
Для определения области асимптотической устойчивости выведем условия (см.
[14]), обеспечивающие принадлежность корней полинома
/(p) = det[p? -Х(о>)] (3.16.2)
единичному кругу |р|<[1, предполагая, что матрица X (ш) действительная.
%
б)
Рис. 21.
Нетрудно проверить, что дробно-линейное преобразование
____>> + 1
единичный круг | р j 1 плоскости р (р = a -f- iz) переводит в левую
полуплоскость ReX<^0 плоскости X (рис. 21, а, б). Таким
'90 ПЕРВЫЙ МЕТОЛ ЛЯПУНОВА
образом, уравнение (3.16.2) заменяется следующим:
ИЛИ
IГЛ. Ill
F(X) = ±(X- 1
(3.16.3)
где полином F (X) должен быть полиномом Гурвица (гл. 11, § 9),
причем знак в формуле (3.16.3) нужно выбрать так, чтобы полином F(\) был
стандартным, т. е. должно быть
F{ 0):
.(_!)"/(-1)>0.
Пример. При каком условии корни полинома
(р и q действительны) лежаг внутри круга | г j Положим
f(z) = z2 -\-pz-\-q 1?
F (2) = ± (г - 1)- I
,2+>
z - 1 1 q = ±. |(2+ 1)2 + р (г2 - !) + <? (г - l)2h
= + [(1+р + ?)г2 + 2(1-9)г + (1 -/> + ?)]. (3.1 в.4>
Так как F(z) должен быть полиномом Гурвица, то отсюда получаем искомые
условия:
l+p-j-<7>0, | l-j-p-4-<7<0, |
1 - q > 0, !• или 1 - q < 0,
1 - р + <7 > 0, | 1 - р -f- <7 < 0.
Вторая система неравенств противоречива и, следовательно, окончательно
имеем (рис. 22) - 1 -Ц- | р С g С 1.
§ 17. Нормальная форма решений линейной периодической системы
Согласно теории Флоке для ">-периодической системы (3.15.1) существует
фундаментальная матрица вида
Х(1) = Ф(()ём, (3.17.1)
где Ф (() - ю-периодическая матрица и А - постоянная матрица. Пусть X,,
..., Хт (т^п) - характеристические показатели системы, т. е. собственные
значения матрицы А. Приведем матрицу А к канонической форме Жордана
A = S ' diag [Jj (a,), ..., Jm(Km))S,
6 17]
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ
191
где S - неособенная постоянная матрица и Jр (л^) (р= 1, ..., т) -
соответствующие клетки Жордана. Из формулы (3.17.1) получаем
X (/) = Ф(0 S-1 diag [е
tJi (Xi
(3.17.2)
Так как произведение фундаментальной матрицы на неособенную постоянную
матрицу есть также фундаментальная матрица, то периодическая система
(3.15.1) допускает фундаментальную матрицу вида
Y (t) = Ч?" (t) diag [е'
tJ (X ) ? т т
