Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
= + 3AfV//-3, (235)
— (A/2r2) (S)J -2(/-- M)/A + 4//-) A-(I//- /2) (^0 - ctg в) v =
Введем новые функции
ф4 = Y4/-1, Ф3 - V/y 2, A - х/г2 /2, (236)
s = а/г, I = Хг/2, я = vr2/i/2.
В этих переменных уравнения (234) и (235) принимают простой и симметричный вид:
^2(D0 — (S)0 + 3/г) O1 = —6Mk1 (237)
A (Я)% - 3/г) Ф0 -f SU®\ = + 6Ms1 (238)
(S)0 + 3/r) s - SUk - O0Ir1 (239)
(S)0 - 3/г) Ф4 - ^_!Ф3 = 6Ml1 (240)
2^O4 + A (SX1L1 + 3/г) Ф3 - 6Mn1 (241)
A (S)I1 + 3/г) / -f - O4/г. (242)
Действуя оператором на уравнение (237) и оператором (S)0 + 3/г) на уравнение (238), а затем складывая получившиеся выражения, мы придем к уравнению, не содержащему Q1, правая часть которого с точностью до множителя 6М совпадает с левой частью уравнения (239). Сравнивая эти выражения, получаем уравнение, в которое входит только одна функция Ф0:
[SUS2 + (2>о + 3/г) A (S)21* - 3/г)] Ф0 = (6ЛЇ/Г) Ф0. (243)
Подобным же образом из уравнений (240)—(242), исключая Ф3, получаем уравнение для Ф4:
[S-xSt + A (S)I1 + 3/г) (S)0 - 3/г)] Ф4 = (бМ/г) Ф4. (243')
182
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
С помощью тождества
A (S)1 -f 3/r) {SDt - 3/г) - 6M/r =- AS)1S)2+ +
+ (6/г) [— *Лт + (г - M)] - 6А/г2 - ШІГ = AS)1S)I - 6for (244) можно привести уравнение (243) к виду
[SeUs2 + (AS)1S)2+ - бит/)] Ф0 = 0, (245)
а уравнение (243') к виду
IS-x&X + (AS)^1S)0 + Ыог)] Ф4 = 0. (246)
Уравнения (245) и (246) допускают разделение переменных. Действительно, пусть
Ф0 = R+2 (г) S+2 (9), Ф4 = R^2 (г) S_2 (9), (247)
где R±2 — функции только переменной г, а S.j-2 —функции только переменной 6. Подставляя эти выражения в (245) и (246), получаем две пары уравнений:
Sli ^2S+2 = — ILi2S+2, (248)
(AS)1S)2+ - Ыаг) R+2 - + |ы2#+2; (249)
2-х 2tS-2 = — |Lt2S_2, (250)
(AS)I1S)0 + 6tor) R_2 - + jbt2/?__2, (251)
где |i2 — постоянная разделения.
Следует отметить, что постоянные разделения для первой и второй пары уравнений равны. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим сначала уравнение (248). Постоянная разделения jx2 является собственным значением оператора —«2Pt1J^2 и определяется из требования регулярности собственной функции 5+2 (6) в точках 0 = 0 и 6 ==. я. С другой стороны, оператор S^t1S2B уравнении (248) переходит в оператор 3? _х9?% в уравнении (250) при замене 6 на я — 6, откуда следует, что собственная функция 5+2 (6; (і2) в уравнении (248), принадлежащая собственному значению р.2, при замене 6 на я — 9 переходит в собственную функцию 5_2 в уравнении (250), принадлежащую тому же собственному значению Ji2. Другими словами, множество собственных значений для уравнений (248) и (250) совпадает.
Спектр собственных значений р2 можно найти, рассматривая (без потери общности) только случай т = 0 (это возможно по той же причине, по какой можно ограничиться исследованием аксиально-симметричных возмущений системы, которая в невозмущенном состоянии является сферически симметричной). Выпишем в явном виде уравнение для 5+2 в случае т = 0:
-?2- -I- ctg е т - 2 (ct§2 9 -Ьcosec2 е) s+s = - (252)
29. Описание в формализме Ньюмена—Пенроуза
183
Сделаем подстановку
S+2 (6) - С (6) cosec2 6. (253)
Функция С (6) удовлетворяет уравнению
Сравнение с уравнениями (20) и (21) показывает
C(Q) = СГ4322 (Є), К = 2п - (I -1)(1 !-2). (255)
Следовательно,
S+2 (6) =-. Clti (6) cosec2 6 - sin 6 -А -^ё-^Г- =
= Рі. ctg6 (m = 0), (256)
где Р/, как обычно, — функции Лежандра. В случае т Ф 0 5+2 (6) является сферической гармоникой со спиновым весом, но значение (і2 при этом не меняется.
Вернемся теперь к радиальному уравнению (249). Заметим, что функция A2T^+2 удовлетворяет уравнению
(AS)_i S)J - Шг) A2R+2 = \х2 (A2^+2), (257)
комплексно сопряженному уравнению (251) для R_2.
Преобразуем уравнение (257) к стандартному виду (принятому в теории дифференциальных уравнений). Во-первых, заметим, что
S)0 --- (r2/A) A+, S)J = (г2'A) Л_, (258)
где (см. уравнение (29))
a d . d A d /слт\
Следовательно,
AS)_iS)J --= A2S)0A-1S)J - r2AAf (г2Д~2Л_). (260)
Введем функцию
Y+2 = T-3A2^+2. (261)
В силу уравнения (257) эта функция удовлетворяет следующему уравнению:
A+ [(г2/А2) Л_ (rV+2)] - 6Wr2A-1K+2 = pt2 (г/А) Y+2, (262)
которое после некоторых преобразований может быть приведено к виду
A2F+2 ! РЛ_У+2- QF+2 = O, (263)
Я =-— In (Л'А2) = (4/г2) (г - - 3M)9 (264)
184
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Q = (A/r5) (\i2r + 6M). (265)
С уравнением типа (263) мы будем часто встречаться, в частности, именно в таком виде мы будем большей частью использовать уравнение для W0.
Подобные же преобразования уравнения (251) для R_2 приводят к уравнению, которое комплексно сопряжено уравнению (263). Действительно, подстановка
Y_2 = r*R_2 (266)
приводит к уравнению
AW_2 + PA+Y_2 - QY.2 = 0. (267)
Поскольку Y+2 и Yl2 удовлетворяют одному и тому же уравнению, выполняется соотношение
