Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
[ e+ior* + R(±) (о) e~ior* (г# + оо),
Т^(о)е^(г^-оо). (159)
Эти граничные условия соответствуют падающей из +оо волне единичной амплитуды, которая в результате рассеяния на потенциальном барьере превращается в суперпозицию отраженной волны с амплитудой (а) на +оо и проходящей волны с амплитудой Т(±) (о) на —оо. (Заметим, что граничные условия мы наложили с учетом физических требований — от горизонта волны не идут.)
Поскольку потенциалы действительные, комплексно сопряженные решения будут удовлетворять комплексно сопряженным граничным условиям
z<±) Ч (4)* -ш 060)
I Т(±) ((X)е * (г,- -00).
Вронскиан двух независимых решений Z(=t) и Z(±)*
[z!*> z(±)*].- z<±>z(i)* - zU)z(±\* (161)
должен быть постоянным, поэтому, вычисляя его значения на +оо и —оо, получаем
-2io(\R{±)(o)\*-l) = +2io\Ti:k)(o)\2. (162)
Перепишем это соотношение в виде
R(±) (а) 4- Т(±) (а) = 1, (163)
где
К<±>(о) = |Я(±>(а)Г, Т(±)(а) = |Т(±)И2. (164)
Величины R(±) и Т(±) называются соответственно коэффициентами отражения и прохождения.
а. Равенство коэффициентов отражения и прохождения для аксиальных и полярных возмущений. Рассмотрим общую задачу об отражении и прохождении волн, описываемую парой волновых уравнений (136) и (137). Из уравнений (150) и (151), связывающих решения этих двух уравнений, и из нашего предположу-
170
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Таблица S
Коэффициент отражения R и фазы амплитуд отраженных волн 6(+) и 6,_) (в радианах) для аксиальных и полярных волн при / = 2 и различных частотах а
о/М R 6< + > 6<->
0,10
1,0000
3,172
3,272
0,20
0,9991
2,462
2,661
0,30
0,9945
К198
1,49G
0,32
0,8895
0,854
1,171!
0,34
0,7929
0,471
0,808
0,36
0,6491
0,057
0,413.
0,38
0,4754
5,909
0,00 Г
0,40
0,3102
5,482
5,877
0,42
0,1841
5,080
5,494
0,44
0,1027
4,710
5,143:
0,46
0,05533
4,371
4,823
0,48
0,02935
4,061
4,532
0,50
0,01548
3,773
4,263
0,52
0,00817
3,504
4,013
0,54
0,00433
3,250
3,777
0,56
0,00230
3,007
3,553
0,58
0,00123
2,775
3,340
0,60
0,00065
2,552
3,135
0,62
0,00036
2,337
2,938
0,64
0,00019
2,127
2,746
0,66
0,00010
1,923
2,560
0,68
0,00006
1,724
2,379
0,70
0,00003
1,530
2,203
Коэффициенты отражения R при / > 2
ОМ/1 1=3 I=A
5
/= 6
0,130
0,9995
0,140
0,9985
0,150
0,9953
0,160
0,9863
0,9973
0,170
0,9604
0,9888
0,180
0,8935
0,9563
0,9787
0,9886
0,190
0,7469
0,8471
0,8934
0,9192
0,200
0,5137
0,5890
0,6109
0,6064
0,210
0,2774
0,2745
0,2312
0,1768
0,220
0,1236
0,0924
0,0556
0,0296
0,230
0,0471
0,0272
0,0117
0,0046
0,240
0,0192
0,0074
0,0023
0,0008
0,250
0,0077
0,0018
0,0005
0,260
0,0029
0,0009
28. Элементы теории потенциального рассеяния
171
ния о стремлении функций / к нулю при X -> ±оо следует, что если Z2 имеет асимптотическое поведение
Z2->e+iax и Z2~^e~iox (*->±оо), (165)
асимптотики Z1 имеют вид
^в+,и^^шг'и (^±ов)- (166)
Соответственно этому если потенциалы равны V1 и V2, то для отраженных и прошедших волн имеем
T1 (о) = T2 (о), R1 (о) -,- R2 (о). (167)
Таким образом, поскольку амплитуды прошедших волн абсолютно одинаковы для потенциалов V1 и V2, амплитуды отраженных волн отличаются только фазами:
R1(O) = J6R2(O), где еіЬ--^^. (168)
Отсюда следует равенство коэффициентов отражения и прохождения.
В нашем конкретном случае, когда Z1 и Z2 равны Z(+) и Z(_), разность фаз амплитуд отраженных волн равна (см. уравнение (134))
it ^ ^(^+2)-12иШ (]т.
' ц2(ц2 + 2) + \2ioM ' К '
В табл. 3 даются краткая сводка значений коэффициентов отражения и прохождения (одинаковых для аксиальных и полярных возмущений) и разность фаз амплитуд отраженных волн, даваемых уравнением (169).
Отметим следующий из соотношений (150) и (151) для решений Z1 и Z2 факт, что если V1 допускает дискретный спектр состояний, то точно такой же дискретный спектр допускает и потенциал V2. Однако, поскольку потенциалы V(+) и V^ всюду положительны, спектр не может быть дискретным.
28. Элементы теории
одномерного потенциального рассеяния
и необходимое условие равенства амплитуд прохождения
для двух потенциалов
В § 27 мы показали, что пара потенциалов (133) приводит к одинаковым амплитудам прохождения для всех значений о. Возникает вопрос, каким необходимым условиям должны удовлетворять потенциалы, обладающие таким свойством. Этот вопрос связан с обратной задачей рассеяния, целью которой является определение потенциалов по известной S-матрице (см. уравне-
172
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
ние (179)), и ее развитием в теории солитонов и теории уравнения Кортевега—де Фриза. Кроме того, этот же вопрос возникнет при изучении подобной задачи для керровской черной дыры в гл. 9, где мы будем иметь дело с комплексными потенциалами и потенциалами, содержащими сингулярности. Для этих случаев еще нет хорошо разработанной теории, поэтому мы сделаем краткий обзор элементов существующей теории и найдем необходимые условия, которым удовлетворяют потенциалы, приводящие к одинаковым амплитудам прохождения.
