Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (108) составляют линейную систему (п — 2) уравнений первого порядка для определения D12a. Предположим, что интегрирующие множители для этих уравнений могут быть найдены, а решения можно представить в виде
= *a?Dl2p = С" = COnst (a = 3' ' ' ' > ")> (109)
где &ар — некоторые известные функции. Детерминанты D12? являются линейными комбинациями величин X7-, поэтому решения (109) можно записать в виде
&а = Xca) jX1 = Са (a = 3, . . ., л), (110)
где функции Х(а) / —линейные комбинации функций ^a?. Из уравнения (79) следует, что X(a)/- (/ = 1, п) есть частные решения первоначальной системы уравнений (77). Именно существование этих частных решений лежит в основе приводимости системы уравнений (77). Таким образом, мы решили поставленную задачу.
Интересно отметить, что в частном случае интересующей нас системы трех уравнений, приводимой к уравнению второго порядка, уравнение (106) принимает особенно простой вид:
= - (В + Ли + A22 + Лзз) O123. (111)
Это уравнение элементарно интегрируется.
а. Частное решение системы уравнений (52)—(54). Мы видели в § 24, что система уравнений (52)—(54) для функций N1LnX допускает сведение к уравнению второго порядка для функции
z'+' = ^m(-L+™x)- on)
Чтобы применить к этой системе уравнений алгоритм нахождения частного решения, развитый в предыдущем разделе, приведем в соответствие обозначения
6*
x->r, X1, X2, X3 -> N1 L1 X.
(ИЗ)
164
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Кроме того,
L1 - О, L2 =
(114)
пг-\-ЗМ ' "s nr + ЗМ пг Уравнение для выраженное через переменную г, имеет вид d2Z<+> , 2М dZ<+>
dr2
г (г— 2M) dr
+
(г—2Му
(a2-V(+))Z<+) = 0. (П5)
nr + 3M
(116)
Далее рассмотрим уравнение (111), которое удовлетворяется следующей комбинацией функций, равной детерминанту:
N О T1 L -1 Г2 X ЗМ/nr T3 Из уравнений (52)—(54) и (114) следует
An + A22 + A33 = а + b — с — = (5М — 2г)/г (г — 2М), ? = 2MIr {г — 2М). Уравнение для D123, следовательно, имеет вид
dD123 _ 2л — 7 M
2Ir =
(117) (118)
-D
123-
(119) (120
dr г (г — 2M)
Интегрируя, получаем
(e3vA2) D123 = const (e2v = 1 - 2M/r). Остается выразить D123 через N, L и X. Имеем
Я» = {- (Гз + ™ Г0 * + Гх ("IT Z + *)}. (121)
где (см. уравнение (88))
T1 = L2A21 -f- L3A311
Г2 = L2, г -f- L2A22 + L3Zl32, (122)
Г3 — L3>r -f- L2Zl23 + L3Zl33.
Коэффициенты A21 и т.д. могут быть получены из уравнений (52)—(54). В конце концов находим
D123 = — (Л)-2 (PN + 3ML + /ігХ), (123)
р = M — (M2 + aV4)/(r — 2М). (124)
Следовательно,
Л*,Л\,-Гт ¦ ол.Г , (125)
{pN + ЗМІ + nrX) - const.
26. Соотношения между У(+) и V(") и между Z(+) и Z( >_ШЗ
Таким образом, имеем частное решение уравнений (52)—(54): N^f = Pi9Ir2, L = g=3Mev/r\ X = h = nrev/r2. (126)
Это решение и было найдено Ксантопулосом.
Пусть теперь у нас есть частное решение (126). Приведем систему уравнений (52)-(54) к одному уравнению второго порядка. Производя подстановку
N=fv9 L = gk, X = Ax. (127)
получим систему уравнений
v,r = A11 (gif) (K-V) + A13 (hlf) (X - v);
Kr = A21 (fig) (v-K) + A23 (h/g) (X - K)9 (128)
Х,г = A31 (flh) (v-x) + A32 (glh) (К - х).
Полагая
P=v-Xt Q = K- х, .R-x-v (P + Q + R = 0), (129) приведем эту систему к виду
HP
TT = - (A118If + Arf/g) P + A2, (h/g) Q + A13 (hlf) R9
§¦ = - (^23% + iWA) Q + A31 (flh) R + A21 (f/g) P9 (,30)
I? = - + Лз*//) Я + Л. (?//) Я + A32 (glh) Q.
Заметим, что эта система совместна с требованием (ср. с уравнением (129))
P+Q+R = O. (131)
Приводимость системы (130) к одному уравнению второго порядка очевидна.
Наконец, найдем функцию
_ г2 / ЗМ v j \ г2 , ъ ч ЗМе* п
L nr -\- ЗМ \ nr Ь) — пг + ЗМ е{% К>~' пг + ЗМ
(132)
Ясно, что решение исходной системы уравнений может быть выражено через Z(+) и ее производную (как было показано нами выше, в § 24, б, II).
26. Соотношения между Vi+) и 1Л-> и между Z(+) и Z(~>
В § 24 мы свели уравнения для полярных и аксиальных возмущений к одномерным волновым уравнениям Шредингера для двух функций Z(_> и Z^ с потенциалами V<-> и У<+>. Примечательно, что, несмотря на внешнее различие, потенциалы
166
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
и даваемые формулами (28) и (63), очень просто связаны.
Действительно, их можно записать единообразно:
V(±) = ±?^ + ?2/2 + */> (133)
где
? = const = 6М, к = const = 4/i (/і + 1) = [і2 (|ы2 + 2), (134)
f = А/г3 (|ы2г + 6M) = А/2г3 (/г/- + ЗМ). (135)
Особо следует отметить, что в уравнении (133) ? их — постоянные, а / -^функция, равная нулю и на горизонте (/* = 2М), и на бесконечности (где она пропорциональна Г2).
На этом этапе причина столь простой связи между потенциалами V^+) и остается непонятной. Она станет ясной при использовании формализма Ньюмена—Пенроуза в § 28 и 29. Пока же мы примем соотношение (133) в качестве эмпирического (и легко проверяемого) факта и покажем, что отсюда следует очень простое соотношение между решениями Z(+) и Z(_).
