Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь подразумевается, что функции S+2 и S-2 нормированы на единицу. Из уравнений (367) получаем выражение для R:
y(ref)
у -2
y(in)
y(ref) г-2
r(ref)r(ref)
которое можно переписать и в другом виде:
256а8
|К(±>|2
y(ref)
Y +2
v(in) Г+2
k(±)l2
256a8 '
y(in)y(in)
y(ref) Г -2
y(in) r —2
(370)
(371)
Этот результат согласуется с соотношениями (368) и (369). Выражение (371) для R дает возможность определить коэффициент отражения прямо из уравнений для Y+2 или Y_2 (или из уравнений для R+2 или R„2, что эквивалентно), и этот коэффициент, разумеется, будет совпадать с коэффициентом, определенным из уравнений для Z***.
Выпишем соответствующее выражение для коэффициента прохождения Т:
2
T =
(2M)* (ст2+ 1/16ЛІ2)
y(tr)
Г+2
16М2
/О Л/Г\2
) (? + тш)
Г-2
(о* + 1/4уи2)
1/2
200
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Хотя физический смысл T—доля энергии падающей волны, поглощаемая черной дырой, — с очевидностью следует из закона сохранения R-f-T = l, прямое доказательство требует детальной аргументации. Оно будет дано в гл. 9.
а. Следствия унитарности матрицы рассеяния. Установленная в § 28 унитарность матрицы рассеяния (179) требует, помимо прочего, чтобы решение для Z, удовлетворяющее условиям
Т(-0)Є-^ (/-*->+ оо),
давало те же коэффициенты отражения и прохождения RhT, что и решение, удовлетворяющее граничным условиям (364). Соответствующие граничные условия для вейлевских скаляров Ф0 и Ф4 имеют вид
(373)
Фо-
Ф4-
где
jGt+imq)q Є
(Y+Pe-""' + ?№>е+іаг-/Ь2) (г, -V - оо),
e^'+^S+AYWe-^'/r5) (г.- + оо),
gtot+tmS_2 (уОпу-Юг. _|_ у(ге!)д2е+1аг.) ^ в«'+'«Ф5_2(у«гув-(вг.) (^ + „о),
оо),
(374) (375)
y-<in)___а_
' +2 " (2M)5 4 (га — 1/2M) (ш — 1/4M)' Y(iy = (2M)3 4to (іа + 1/4 АГ), 7kef) = (2M)3 4іа (іа - 1/4M) R (— а),
+2 y(r«f>
(376)
k*r (-а)
(2Af)5 4 (fa + 1/2M) (tor + 1/4M)' +2 = _ (/(/4(T2) T (- а), = - 4O2T (- а).
Из этих соотношений получаем
fur)
1#(-<т)|2
1
v(ref)
Y —2
y(in)
v(ref)
Г+2
I/Cl
(2Л?)16 256a2 (o2 + 1/16ЛЇ2)2
X
X
(a2 + 1/4ЛЇ2)
T(-o)\*
y(ref) 1 —2
v(in) r-2
v(tr)
Г+2
(2M)16 a2 (a2 + 1/16M2)2 (a2 + 1/4Af2),
(377)
y(in)
(2M)1» (a2 + 1/16Af2) (o2 + 1/4M2)
2
Y —2
(2M)6 (a2 + 1/16Ж2) a2
(378)
33. Некоторые комментарии к теории возмущений
201
33. Некоторые комментарии к теории возмущений
Теория возмущений шварцшильдовской черной дыры, описанная в предыдущих параграфах, представляет собой такое количество спутанных нитей, что трудно распутать этот узел и разглядеть скрытый в нем узор. Но некоторые элементы этого узора все-таки видны.
Центром, из которого, как представляется, расходится весь узор, является уравнение для радиальной части Y+2 (или Y_2) вейлевского скаляра Y0 (или Y4) в формализме Ньюмена—Пенроуза. Мы видели в § 32, что коэффициенты отражения и прохождения для падающих гравитационных волн однозначно определяются функцией Y+2 или Y_2. И любой способ, любой путь (любая нить) в нашей теории должны приводить к тем же самым значениям этих коэффициентов.
Разделение возмущений метрики на аксиальную и полярную части наиболее естественно вытекает из структуры вейлевских скаляров в формализме Ньюмена—Пенроуза.
Аксиальные возмущения описываются одной скалярной функцией Z<">, удовлетворяющей одномерному волновому уравнению Шредингера с потенциалом который называется потенциалом Редже—Уилера. Коэффициенты отражения и прохождения, которые можно получить элементарными методами из этого уравнения, должны, конечно, совпадать с коэффициентами, полученными из уравнения для Y+2. Ясно, что должны существовать преобразования, переводящие Y+2 в Z(~> и обратно.
Полярные возмущения описываются тремя радиальными функциями L, N и X, которые удовлетворяют системе трех линейных уравнений первого порядка. Поскольку эти уравнения должны давать информацию об отражении и прохождении падающих гравитационных волн, они должны сводиться к волновому уравнению второго порядка. Подобная приводимость обеспечивается существованием частного решения уравнения — интеграла Ксантопу-лоса (уравнение (126)). Но если редукция гарантирована, она может быть осуществлена разными способами. Существует, например, комбинация Z(+> (определяемая уравнением (59)), которая удовлетворяет волновому уравнению с так называемым потенциалом Церилли Однако есть и другая комбинация Зі (задаваемая уравнением (154)), удовлетворяющая уравнению Редже— Уилера. Этот произвол в действительности является следствием того, что любое волновое уравнение для полярных возмущений должно приводить к тем же коэффициентам отражения и прохождения, что и уравнение Редже—Уилера, и поэтому их решения должны быть представимы явным образом в виде линейных комбинаций функции Z(-> и ее производной.
202
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Можно ли на основании вышесказанного совсем не рассматривать уравнение для Z<+)? Видимо, нельзя, потому что, например, при установлении связи между Y+2 и Z(-) мы получаем уравнение для Z(-> как одно из пары дуальных уравнений с потенциалами (см. уравнение (133)) вида
