Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим два волновых уравнения
+ (T2Z1 = V1Z1 = (+ ? + ?2/2 + X/) Z1, (136)
§ + 0? = K2Z2 = (- ? -g- + ?2/2 f xf) Z21 (137)
где ? и X — некоторые действительные постоянные, а / — произвольная гладкая функция, причем и функция /, и все ее производные стремятся к нулю как при х -> +оо, так и при х -> —оо, а интеграл от этой функции по всей области изменения х конечен. (Для удобства обозначений мы временно заменили г* на х и Z(+) и Z(_) на Z1 и Z2.)
Ясно, что без ограничения общности, имея решение Z2 уравнения (137), можно записать решения уравнения (136) в виде
Z1 -/7Z2 + qZ2, (138)
где Z2* — производная функции Z2 по X9 а /7 и q — некоторые соответствующим образом подобранные функции. Нетрудно вывести уравнения, которым должны удовлетворять функции р и q9 чтобы Z1 было решением уравнения (136).
С этой целью продифференцируем уравнение (138) и используем уравнение (137). Получим при этом
Z\ ^[p' + q (V2 - о2)] Z2 + (/7 4- q) Z2. (139)
Еще раз проделаем эту процедуру:
Zi [P + (р + 2q) (V2 - о") + qV2) Z2 +
+ [Р' + Я ІУ* - о2) +р' + q] Z2. (140)
26. Соотношения между Fe+> и V*~y и между Z*+> и Z*~> Ш
Это уравнение должно в точности совпадать с тем, которое мы получим, комбинируя уравнения (136) и (138):
Zl - (pZ2 ^qZ2)(V1-O2). (141)
Приравнивая в уравнениях (140) и (141) коэффициенты при Z2 и Z2, находим
q (V1 - а2) - 2р' + q" +q (V2 - а2), (142)
P (V1 - а2) = р + (р + 2(7') (V2 - а2>+ qV2, (143)
которые удобно переписать в виде
4(V1- V2) = 2/7' (144)
P (V1 - V2) = р + 2q (V2 - a2) + qV'2. (145)
Исключая из этих уравнений (V1 — V2), получаем
2рр + pq - M - 2qqf (V2 - а2) - q2V2 = 0. (146)
Уравнение (146) допускает интеграл
P2 + (pq' — p'q) — Ф (V2 — о2) = const - С2. (147)
Функции р и q должны удовлетворять уравнениям (144) и (147), если комбинация pZ2 + qZ2 является решением уравнения (136). В общем случае (т. е. при произвольно заданных функциях V1 и V2) нельзя надеяться решить эти уравнения явно. Однако в конкретном рассматриваемом случае это оказывается возможным! Действительно, легко проверить, что в данном случае функции
<7 = 2? (= const), р=к + 2?2/ (148)
удовлетворяют уравнениям (144) и (147), причем |
С2 = к2 +4?2a2. (149)
Следовательно, решения Z1 и Z2 связаны между собой соотношением
(х + 2fe?)Z, = (х + 2?2/) Z2 + 2?Z2, (150)
где относительная нормировка Z1 и Z2 выбрана таким образом, чтобы обратное соотношение (при той же нормировке) имело вид
(х - 2io?) Z2 - (х f 2?2/) Z1 - 2?Zj. (151)
Если же ?, к и / заданы уравнениями (134) и (135) (этот конкретный случай нам и необходим), то соотношения (150) и (151) принимают вид
[ц,2(ц2+2) + 12wM]Z(+) =
= tu2(|і2 + 2) + 72M2AJґ(ц2г -f 6M)] Z(-' -f \2MZ\~rl, (152) [(X2Ox2+ 2)- 12iaM]Z(-) =
= [и2 (|Г + 2) + 72М2Д/г3 (|i2r + 6M)J 2(+> - 12MZ!+'. (153)
168 Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
В § 27 мы рассмотрим другие следствия полученных соотношений и найдем другие соотношения, следующие из вида потенциалов, задаваемых уравнениями (133).
Интересное следствие соотношений (152) и (153) можно получить, подставляя вместо L, X и N решения (71), (72) и (75) в выражение
Z = (\1г) (nr + ЗМ) W — (п + 1) rL/ЗМ] +
+ l(n + 1) —p/r] (L +X). (154)
Находим, что члены с Ф сокращаются (это одна из причин для рассмотрения именно выражения (154)), и равно
*--^1Н^+зштътш1*+>- (155)
Следовательно,
(12MIn) X = — 12MZ1Jl + [4л (л + 1) + 36M2A//-3 (nr + ЗМ)] Z(+>.
(156)
Сравнивая это последнее уравнение с уравнением (153) и вспоминая, что |ы2 = 2я, заключаем, что выражение для составленное из радиальных функций, описывающих полярные возмущения, удовлетворяет волновому уравнению, соответствующему аксиальным возмущениям!
27. Задача об отражении и прохождении волн
В настоящем параграфе мы рассмотрим волновые уравнения, которым удовлетворяют функции Z(+) и Z(~\ с точки зрения физических процессов, ими описываемых, и физический смысл входящих в них величин.
Заметим сначала, что потенциалы Vi+) и — гладкие
функции, интегрируемые во всей области изменения переменной г* (+оо, —оо) и всюду положительные. Кроме того, потенциалы спадают при г* -> +оо обратно пропорционально квадрату радиуса и экспоненциально стремятся к нулю по мере приближения к горизонту, т. е. при г* -> —оо. Таким образом, имеем
т/(±) I 2(tt+l)r2, когда г-*г,-* + оо,
V "І (const)±/*/2M, когда - оо. (157)
Поскольку К<±> при г* -> ±сх> спадают быстрее, чем г~х, решения Z(±) при г* -> ±оо имеют асимптотику
е±Саг'(г*-+±оо). (158)
При действительных а, таким образом, решения Z(±> описывают входящие и уходящие волны. Следовательно, физические процессы, описываемые нашими волновыми уравнениями, — это про-
27. Задача об отражении и прохождении волн
169
цессы отражения и прохождения падающих (из +оо или —оо) волн в поле с одномерными потенциальными барьерами 1/(±). Это задача о прохождении через одномерный потенциальный барьер, рассматриваемая в квантовой механике. Более точно, мы должны искать решения волновых уравнений, удовлетворяющие граничным условиям
