Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
(г8/Л2) (YLoAJY+O - F+2A-Kl2) - const. (268)
Но
YL2A-Y+2 - Y+2AJYL2 = Y+2, rJL2 - Y+2YL2, г„ (269)
откуда следует, что вронскиан [Y+21 Yl2] решений Y+2 и Yl2 имеет вид
[Y+21 YL2] = const г8А2. (270)
Вронскиан для функций A2R+2 и R*2 в силу подстановок (261) и (266) равен
[A2R+2, Rl2) = const. Г2А2. (271)
Из этого последнего соотношения должен следовать «закон сохранения», точно так же как постоянство вронскиана [Z(±>, Z(±>* ] привело к закону сохранения (163). Ниже, в § 32, мы увидим, что это действительно так.
б. Завершение решения уравнений (237)—(242) и «призрачная» калибровка. В настоящей главе мы не собираемся решать все уравнения Ньюмена — Пенроуза — это будет сделано в гл. 9 для более общего случая черной дыры Керра. Тем не менее мы закончим решение уравнений (237)—(242), поскольку они нам понадобятся в гл. 5.
Предварительно заметим, что, во-первых, у нас есть только шесть уравнений, содержащих восемь неизвестных функций, и поэтому общее решение этих уравнений должно содержать две произвольные функции, и, во-вторых, уравнения (237)—(239) для Ф0, (D1, & и s и уравнения (240)—(242) для Ф4, Ф3, / и п расцеплены. Это расцепление двух систем уравнений имеет далеко идущие последствия, изучение их мы также отложим до гл. 9.
Вернемся теперь к уравнениям (237)—(242). Мы показали выше, что эти уравнения приводят к независимым уравнениям для Ф0 и Ф4. Ясно, что решения для остальных величин должны содержать две произвольные функции. Дело в том, что бесконечно
29. Описание в формализме Ньюмена—Пенроуза
185
малый поворот тетрады вызывает приращения второго порядка малости в скалярах 1F0 и 1F4 и приращения первого порядка малости в скалярах "V1 и 1F3, если в невозмущенном пространстве-времени 1F0, V1j V3 и 1F4 равны нулю (см. § 8, ж, уравнения (342) и (346)). Иначе говоря, в линейной теории возмущений V0 и 1F4 являются калибровочно-инвариантными величинами, a 1F1 и "1F3 — нет. Следовательно, мы можем, например, выбрать калибровку (т. е. подвергнуть тетрадный базис бесконечно малому вращению), в которой 1F1 и 1F3 равны нулю, не затрагивая при этом 1F0 и 1F4.
Если выбрать калибровку, в которой V1 и 1F3 равны нулю, то соответствующие решения для ?, s, / и п сразу же следуют из уравнений (237), (238), (240) и (241):
_ ?Mk = R+2S2S+2, 6Ms - S+2A (SDt - 3/г) R+2\ (272)
+ 6Mn = #_2#JS_2, 6MZ = S_2 (S)0 - 3/г) #_2.
Чтобы получить полное описание решений уравнений (237)— (242), необходимо знать относительную нормировку радиальных функций A2R+2 и R_2. Мы найдем эту нормировку в § 32.
Разумеется, помимо калибровки, в которой "V1 и ^3 равны нулю, могут быть выбраны и другие калибровки, в частности, такие, в которых уравнения (237)—(242) приобретают дополнительные свойства симметрии, отсутствующие в общем виде. Посмотрим, например, как входят в уравнения (237)—(239) величины Ф0, k и s, с одной стороны, и величины Фь k и s — с другой. Если исключить из уравнений (237) и (238) величину Фь то уравнение (239) позволяет получить уравнение только для функции Ф0 — назовем поэтому уравнение (239) «правильным». Но подобное же исключение Ф0 не приводит к отцеплению Фь так как у нас нет соответствующего «правильного» четвертого уравнения. Однако мы можем воспользоваться имеющейся свободой и подвергнуть базисную тетраду такому бесконечно малому повороту, чтобы величины Фь k и s удовлетворяли дополнительному «правильному» уравнению
A (S)2+ - 3/r) k -f- S2S - {2Ir) Ф,, (273)
позволяющему после исключения Ф0 из уравнений (237) и (238) получить отцепленное уравнение только для Ф^
[A (S)2+ - 3/r) (S50 + 3/r) -f S2SU] Фі = 12 (M/r) (D1. (274) Это уравнение можно переписать в виде
[(AS)2+S)0 - 6/от) + S2SU] Фі = 0. (275)
Подобным же образом, добавляя в качестве калибровочного условия уравнение
(S)0 - 3/r) п - SU = {2/г) Ф3 (276)
186
Ґлава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
к уравнениям (240)—(242) и исключая Ф4 из уравнений (240) и (241), получим уравнение для Ф3:
[(AS)1S)I1 Ь6шг) + 2^_,]Фз = 0. (277)
Уравнения (275) и (277) допускают разделение переменных. Подстановки
Фі = R+i (г) S+1 (6), (D3 = R_, (г) S.! (6) (278)
приводят к следующей паре уравнений:
(AS)2+S)0 - Шг) R+1 - Ii2R+U S2SUS+{ = - Ii2S+U (279)
(AS)1S)I1 -Ь бшг) - [л2#__ь S^S^S^ - - [л25_ь (280)
Введение индексов + 1 и —1 оправданно, причину этого мы объясним ниже.
Заметим, что в уравнениях (279) и (280) мы использовали ту же самую постоянную разделения [л2, что и в уравнениях (248) и (250). Причина этого в том, что между функциями S+1 и S-1 и функциями 5+2 и 5_2 существуют (при подходящей нормировке) следующие соотношения:
S2S+2=+IiS+U SUS+, = - IiS+2, (281)
SlS^2 = — jxS-i, ^-iS-i = + pS_2, (282)
причем регулярность S+2 при 6 = 0 и 6 == я гарантирует также регулярность функций S±1.
Ниже, в гл. 5 (§ 46), мы покажем, что функции Фх и Ф3, определяемые уравнениями (278)—(280), описывают некоторое максвелловское поле в геометрии Шварцшильда *. Таким образом, мы фактически вывели уравнения Максвелла (которые описывают также фотоны со спином ±1), найдя калибровку, восстанавливающую описанную выше симметрию уравнений (237)— (242). Теперь становится ясным появление индексов ±1 при соответствующих радиальных и угловых функциях.
