Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Интеграл от этого выражения, очевидно, равен нулю, а остальные члены, четные по ?, одинаковы для V{+) и У(-). Точно так же нечетные по ? члены в выражении для 2V3 + V'2 приводятся к
2?3 (ff'Y + «? (ГУ + 6? (?2/2 + X/)2/', (224)
и интеграл от них также равен нулю. Равенство интегралов от двух оставшихся величин, перечисленных в (220), может быть проверено, хотя громоздкость выражений быстро возрастает.
Прямое вычисление интегралов от выражений (220) для потенциалов V(+) и V(~\ соответствующих шварцшильдовской черной дыре, дает (р = 2п + 1)
1) (2р — 3)1 Ш,
2) (5р2 — \8р + 18)/480М3,
3) (16/73 — 83р2 + 150/7 — 87)/26880Л15, (225)
29. описание в формализме Ньюмена—Пенроуза
179
л\ 1 (4 _ 53 з , 263 з _ 147 , 444 \ . 4' 128УИ7 V 168 Р 1386 р ' 2772 Р 1430 Р 10010 / '
53 -
263 .
147
п
1386 і-
2772 ^
1430 ^
41 о4
+
56 ,
2557
2574 ^
1155 р
34320
су 1 / 14 5 41 4 , 56 з 2557 2, . 1203 D^ 512Л49 V 6435 P 2574 Р 1155 34320 Р + 19448 "
723 38896
¦)•
29. Описание возмущений
в формализме Ньюмена — Пенроуза
При исследовании возмущений метрики, проведенном в предыдущем параграфе, мы несколько раз оказывались в ситуации, когда не могли объяснить, откуда возникают те или иные соотношения. Например, почему коэффициенты отражения и прохождения одинаковы для полярных и аксиальных возмущений? Почему существует такая простая связь между решениями для полярных и аксиальных возмущений? И почему, наконец, потенциалы и получаются из одной и той же формулы, в которой лишь нужно изменить знак одного члена? Глубокие физические причины возникновения подобных соотношений пока еще не поняты. Эти соотношения были найдены нами эмпирически, но впервые они были получены в формализме Ньюмена — Пенроуза, что и будет рассмотрено в этом разделе.
Предположим, что зависимость различных величин от времени t и азимутального угла ф имеет следующий вид:
exp \i(at + m4>)}, (226)
где а — постоянная величина, am — целое число, которое может быть положительным, отрицательным или нулем. Действие производных D, Л, б и б* по направлению базисных изотропных векторов, введенных в гл. 3 (уравнение (281)), на функции с зависимостью (226) от времени и момента количества движения можно описать следующим образом:
I = D = SD0, п=А= — (A/2r2)S>J,
т б = 2"1 V-1S7J, т = б* = 2"1 V"1 S0, (227)
где
= дг + + 2п (г - М)/А,
&* = дг- Ir2OlА + 2п (г - М)/А, (228)
3Sn = Oq + п ctg 9 4- т cosec 9, S^n ~ д0 -[¦- п ctg 9 — тcosec 9.
Следует отметить, что 2Dn и 2Ь\ 'являются чисто радиальными операторами, a Sn и 3?\ — чисто угловыми операторами.
180
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Дифференциальные операторы (228) удовлетворяют ряду тождеств, которые будут нам полезны:
SDl - (Фп)\ (в) = - 2?п (я - 9), AS)n+1 - S)nA5 sin G^n+1 = Sn sin Є.
Как мы проверили прямыми вычислениями (§ 21), вейлевские скаляры T0, T1, 1F3 и 1F4 и спиновые коэффициенты х, а, I и v равны нулю в фоновой метрике Шварцшильда, что следует также из принадлежности метрики Шварцшильда к типу D по классификации Петрова. Единственный не равный нулю вейлевский скаляр — это T2, равный
T2 = —Mr3 (230)
(см. уравнение (290) гл. 3), а ненулевые спиновые коэффициенты равны (см. уравнение (288) гл. 3)
р = —1/г, - —a = ? = ctge/2/2r, [і =-- — А/2/-3, у = fx + (г - М)/2г2 =r Mf/2г2. (231)
а. Линейные по возмущениям уравнения формализма Ньюмена — Пенроуза. Среди различных уравнений формализма Ньюмена — Пенроуза, перечисленных в гл. 1 (§8, в—о), есть шесть уравнений — четыре тождества Бианки (гл. 1, уравнения (321а), (321г), (321д) и (321з)) и тождества Риччи (гл. 1, уравнения (3106) и (ЗЮк)), — которые линейны и однородны относительно величин, тождественно равных нулю для фоновой метрики:
(б* — 4а + л) 4P"G — (D — 2є — 4р) T1 = ЗхТ2, (Д _ 4Т + її) V0 - (б - 4т - 2?) T1 = ЗсгТ2, (232) (D — р — р* — Зє + є*) а — _ (б — т + л* — а* — 3?) X = T0; (D + 4є _ р) T4 — (б* + 4я — 2а) T3 = —3W2, (б + 4? - т) T4 - (А + 2у + 4jbt) T3 = -3vT2, (233) (Л + Ji + Ц* + Зу - у*) X -— (б* + За + ?* + п — т*) v = —T4.
Эти уравнения уже линеаризованы в том смысле, что T0, 1P1, T3, T4, х, а, X и v следует рассматривать как возмущения, т. е. как величины первого порядка малости (при этом зависимость от / и ф имеет вид (226)). Поэтому можно все остальные величины (включая базисные векторы и, следовательно, производные по направлению) заменить на соответствующие невозмущенные зна-
29. Описание в формализме Ньюмена—Пенроуза
181
чения, заданные уравнениями (227), (230) и (231). При этом получаем
(I/г /2) (S7O + 2 ctg0) Y0 - (2>0 + 4/г) Y1 = — З/Их/Л - (Д/2/-2) (2>J + 4(/-- М)/Л — 3/г) Y0 - (1/г /2) (27J - ctg в) Y1 ==
= — ЗМа/г3, (234)
(SD0 + 2/г) а - /2) (27O+ - ctg Є) к = Y0; (? f 1/r) Y4 - (1/г /2) (<?„ -ctg Є) Y3 = + ЗМА/г3, (1//- /2) (57O+ + 2 ctg Є) Y4 + (Д/2/-2) (0? -2(/-- M)/A + 6/r) Y3 =
