Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
32. Физическое содержание теории
19?
32. Физическое содержание теории
В начале настоящей главы (§ 22) мы писали, что возмущений метрики черной дыры описывают конкретные физические процессы — отражение и поглощение гравитационных волн, падающих на черную дыру, и основной задачей предпринятого исследования является изучение особенностей таких процессов. Хотя из общих соображений кажется, что коэффициенты R и Т, полученные нами из уравнений для Z<±), являются искомыми коэффициентами отражения и прохождения, этот вопрос требует специального изучения, поскольку до сих пор мы не исследовали падение гравитационных волн. И дело это не столь простое: оно потребует, как мы увидим, более глубокого, чем было до сих пор, изучения взаимосвязей двух теорий возмущений —теории, основанной на формализме Ньюмена — Пенроуза, и теории, построенной на основе линеаризованных уравнений Эйнштейна.
Начнем с того, что найдем связь постоянной в соотношении (270) для вронскиана функций Y+2 и Y-2 со значением вронскиана [Z, Z* ], постоянство которого приводит к закону сохранения R + T = 1 (§ 27). Рассмотрим вронскиан любых двух независимых решений Z1 и Z2 уравнения (285):
К2 [Z1, Z2 ] = К2 (Z2 A+Z1 - Z1A+Z2). (354)
Подставляя вместо KZ и /CA+Z выражения из уравнений (301) и используя соотношение (300), находим
К2 [Z1, Z2] = [(г8/Д2) [(г8/A2) RfV + ? (W + 2ЗД] (Y2AY1 -Y,A_Y2) =
= (W)K[Y1, Y2]. (355)
Следовательно,
(r8/A2) [Y19 Y2] = К [Z1, Z2] = const. (356)
Это последнее соотношение показывает, что мы можем находить коэффициенты отражения и прохождения и из уравнений для функций Y+2 и Y_2 (или из уравнений для функций A2R+2 и R-2> что эквивалентно). Однако мы пока не можем извлечь никакой полезной информации из знания вронскиана [Y+2, К*2], потому что Y+2 и Y_2 удовлетворяют независимым уравнениям — на это мы уже обращали внимание в § 29, б. В гл. 9, исследуя более общий случай черной дыры Керра, мы найдем, что уравнения формализма Ньюмена—Пенроуза (те уравнения, которые мы до сих пор не рассматривали) определяют относительную нормировку функций Y+2 и Y_2, так что вронскиан функций Y+2 и У*2 все-таки можно использовать для нахождения коэффициентов R и Т. Но сейчас мы попытаемся обойти эту трудность и получить требуемые соотношения прямо из уравнений теории преобразований, развитой в § 30.
Мы знаем, что решения Z<+) и Z<-> имеют асимптотическое поведение e±ior» как при г% -> +оо, так и при г* -> —оо. Можно
7 Чандрасекар С.
198 Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
использовать эту информацию для нахождения асимптотик функций Y+2 и Y^2 с помощью уравнений (318) и (319) и .соответствующих комплексно сопряженных уравнений,
Вспоминая, что функции №(±) и Q стремятся к нулю
при -> + оо, получаем (см. первое уравнение (318) и первоб уравнение (319)), что при г* -> +0°
Z(±)-+e+ior*y Z^-+e-ior*(r*-+-{-oo) (357)
асимптотики Y+2 и Y^2 равны
Y+2 -> - 4а2е+"Ч Г+2 -> - /(<±>е-^./4а2г4, r_2->-/((±)*?+^./4or2r4, Г_2-> +4а2е-''аг*.
Подобным же образом получаем, что вследствие равенства нулю функций V{±) и Q на горизонте событий и поскольку
W(±) -> - (2M)-1 (г = 2M) (359)
(см. уравнение (328)), асимптотическое поведение функции Z<±> по мере приближения к горизонту имеет вид
Z(±)-+e+iar; Z^-+e-ior* (г*->-оо); (360)
соответствующие асимптотики функций Y+2 и Y_2 равны
Y+2 -> 4ш (to - 1 /Ш)е+Сог •,
v /С(±)А2ехр[-шг,1
+2 (2M)* 4 (ш — 1/2M) (ш — 1/4M)'
у А2ехр [jar.] (361)
2 (2M)4 4 (ш + 1/2M) (ш + 1/4M)'
Г_2 -> 4ш (to + I /4M) <г<аг*.
Теперь мы можем выписать граничные условия для вейлевских скаляров:
ф0 ^ 4«'+""VR+2S+2 = е***+*™* (г3/A2) Y+2S+2 (- T0), (362)
ф4 = e'*w™p#_.2s_2 є^^+^фг3Г_25_2 (= t4Y4), (363)
которые соответствуют следующим граничным условиям для функций Z^ (см. уравнение (159)), определяющим амплитуды отраженной и прошедшей волны R^ (о) и Т(±) (а):
7± ! Є+ІОГ* + ^(±> ^~iar* (Г* ^ + /364Ч
~* \ 7<*> (а) а+'", (г* -> - оо). ( '
Имеем Ф0->
(в) (^«+'"•/r + ОД^•/r6) (г, -> + оо),
ew+?/wps+2 (9) r(tr)?+,-ar.M2 (^ ^ _ ^ (365)
°4 j e'°'+^S-2 (в) Y^A2e+ior* (г* - оо), (366)
82. Физическое содержание теории
где
Уф - - 4а2, Y^ s - (Кш/іа2) Нш (а),
= - /С(±)74а2, - - 4а2#(±) (а),
(2Af)84to(to- 1/4M) T (а),
y(tr> =_КШ*Т (а)__
* +2
(367)
(2M)5 4 (/a + 1/2M) (/a + 1/4M) *
Теперь ясно* что коэффициенты при главных членах (убываю* щих на бесконечности как г""1) вейлевских скаляров Y0 и определяют поток энергии в приходящих и уходящих гравита^ ционных волнах. Выражения для потоков энергии будут выведены в гл. 9 (§ 98, б). Здесь мы просто приведем их без доказательства. Итак, поток энергии в единицу времени и в единице телесного угла Q в приходящей (падающей) волне равен
d2?(in) _ (S+,)» 1 j у (in) |2>
d/dQ ~~ 2л 32аа а поток в уходящей (отраженной) волне равен
d2?(ref) _ ($_,)» 1 і у(ref) ,2 d/ dQ ~~ 2я 2a2 1 1 ~2
(368)
(369)
