Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Калибровку, в которой выполняются уравнения (273) и (276), назовем «призрачной», поскольку в этой калибровке среди возмущений гравитационного поля метрики Шварцшильда появляется призрак максвелловского поля (в других калибровках этот факт завуалирован).
Наконец, выпишем уравнения для спиновых коэффициентов в призрачной калибровке:
-6Mk - S+1 [ + IiR+2 - (S)0 + 3/г) R+1],
6Ms - S+2 [- ^R+1 + A (S)? - 3/r) R+2], (283)
* Мы исследуем уравнения Максвелла в более общем случае геометрии Керра в гл. 8.
30. Теория преобразований
187
6Ml = S_2 [—[iR.! + - 3/г) #_2],
6Mn = S-i [- ц#_2 + A + 3/г) #_,].
В уравнениях (283) для спиновых коэффициентов переменные г и 0 уже разделены. В гл. 5 мы увидим, что эта возможность разделения переменных играет важную роль при изучении возмущений метрики Рейсснера—Нордстрема для заряженной черной дыры.
30. Теория преобразований
В предыдущем параграфе мы, используя формализм Ньюмена— Пенроуза, получили пару комплексно сопряженных уравнений для радиальных функций A2^+2 и R_2. Как будет подробно показано в § 32, уравнения (263) и (267) с вронскианом (271) описывают отражение и прохождение гравитационных волн, тч е. те же физические процессы, которые описываются уравнениями для функций Z(±) с вронскианом (161), приводящим к закону сохранения (163). Оказывается, именно требование согласованности результатов, полученных двумя способами — на основе формализма Ньюмена—Пенроуза и на основе линеаризованных уравнений Эйнштейна, — является причиной равенства коэффициентов отражения и прохождения для аксиальных и полярных возмущений. Благодаря этому можно явно выразить функции У±2 и Z(±) друг через друга. Из сказанного выше следует, что должна существовать возможность так преобразовать решение Y±2 уравнения (263), чтобы оно одновременно было и решением уравнения для Z(+) или уравнения для Z(~>. Такая возможность должна быть обусловлена каким-то специальным свойством уравнения (263). Займемся этой проблемой.
Наша задача состоит в том, чтобы выразить решение уравнения
A2Y + PA_Y — QY = 0 (284)
через решение одномерного волнового уравнения
A2Z = VZ, (285)
где
Р--^-1п(г8/А2), (286)
a Q и V — некоторые функции, которые мы пока оставим неопределенными.
Поскольку и Y9 и Z удовлетворяют уравнениям второго порядка, предположение о том, что Y — линейная комбинация функции Z и ее производной, не является ограничением. Но вместо того, чтобы написать эту линейную комбинацию в явном виде, как в § 26, мы представим Y в виде
Y = /A+A+Z + WA+Z1 (287)
188
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
или в эквивалентной форме
Y = fV Z+ (W + 2iotf) A+Z, (288)
где / и W — некоторые функции г*, подлежащие определению. Представление Y в виде (287) или (288) может показаться странным, но этот "способ наиболее полно учитывает структуру уравнений (284) и (285), а также удобен для других приложений, с которыми мы будем иметь дело ниже, в § 31.
Действуя оператором А_ на обе части уравнения (287) и учитывая, что Z удовлетворяет, по нашему предположению, уравнению (285), находим
A Y
(tfV) + WV] Z + [fV + JL(W + 2/а/)] A+Z. (289)
Вводя определения
- ?AV = (ffV) + WV1 (290)
R = fV + JL(W + 2iof), (291)
перепишем уравнение (289) в виде
AY = —? (A2A-8) Z + RA+Z. (292)
Действуя далее оператором A- на уравнение (292), получаем (снова используя уравнение (285))
A_A_Y = - ?(AV)(A+ - 2Ia)Z- f^+Z- №+(+) +
+ RVZ + ¦^- (293)
С другой стороны, в силу уравнения (284) имеем
A_A_Y = —(P + 2ia) A_Y + OY. (294)
Подставляя вместо Y и A_Y выражения (287) и (292), получаем (ср. с уравнением (286))
А_А_Г = - (2io + + In-?-) (-?Z + SA+Z) +
+ Q [/VZ+ (^ + 2WZ)A+Z]. (295)
Правые части уравнений (293) и (295) должны тождественно совпадать, поэтому можно приравнять коэффициенты при Z и A+Z:
RV-+1^ = QfV' (296)
$—P-W = QW + З'*/) - (2ta + In -?-) Я. (297)
30. Теория преобразований
189
Перепишем уравнения (296) и (297) следующим образом:
(Qf-R)V, (298)
17- (ж R) = (r8/A2)lQ(W + 2іаЯ - 2іа/?] + ?- (299)
Теперь несложно проверить, что уравнения (290), (291), (298) и (299) допускают интеграл
{г8/A2) RfV + ? + 2ЭД /С const. (300)
Этот интеграл аналогичен интегралу (147) в § 26, найденному при решении подобной задачи.
Интеграл (300) позволяет записать выражения, обратные выражениям (288) и (292):
KZ = (г8/A2) RY - (r8/A2) (W + 2iaf) AJK, (301)
KA+Z = ?F + (г8/А2) /УЛ_У.
а. Условия существования преобразований с f = 1 и $ = const; дуальные преобразования. Мы можем формально рассматривать любые четыре из пяти уравнений (290), (291), (298)—(300) в качестве уравнений для пяти функций ?, f, R1 Vn W. Найдем теперь условия, при которых уравнения, описывающие преобразования Y и Z1 совместны с требованием
? = const, /= 1. (302)
Мы покажем, что преобразования, совместные с требованиями (302), возможны только в том случае, если Q удовлетворяет некоторому нелинейному дифференциальному уравнению, четному относительно ?. Именно в силу последнего обстоятельства требования (302) являются искомыми условиями, позволяющими преобразовать уравнение для Y так, чтобы одновременно удовлетворялись уравнения или для Z(+>, или для Z<-> с потенциалами у<+) и заданными уравнением (133).
