Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
8 S vhy = f ^ (*. Е. г/) ^ + О (е) (2.4)
ft= о 0J
принимает вид
Vit = (1 - г\) ^iy + в2 ^ixxy - 2vix I Vy (і, I, у) dl +
+ 6?oyix+«2?oW + °(e3)))- (2.5)
Уравнение (2.5) после замены
г' = — гЧ, у' = у +\t, х' = х-\- 6?0f (2.6)
принимает вид (штрихи опускаем)
X
vU = iviviy + 2vIX jЧ ^ d^ - vIXXV + Po (6vXvXX - vXxxx) + О (г).
О I
' (2.7)
Полученное уравнение после перехода к пределу е 0 преобразуется в уравнение
X
Vi = 4vvy + 2ок J Vy (і, І, у) dl - Vxxy + ?0 (%vvx - Vxxx). (2.8) o
В главе II построена подробная теория уравнения (2.8), которое описывает взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х. Уравнение (2.8) имеет операторное представление
Li = 2(LLv + LvL) + [L, А], (2.9)
где L = — б2 + V (і, х, у) — оператор Штурма — Лиувилля.
§ 3. Система гидродинамического типа, связанная с цепочкой Тода
I. Пусть L — симметрическая матрица следующего вида:
L =
aI 0 . . 0 0
aI P2 а2 ¦ • 0 0
0 а2 P3 ¦ . 0 0
0 0 0 . • Pn-1 ап-1
0 0 0 . • ап-1 Pn J
(3.1)
308 меттыИЦа А является кососимметрической и имеет ненулевые эле-
Ai, 1+1 = Xi, Ai+1,, = — Xi. (3.2)
Рассмотрим для этих матриц операторное уравнение вида
Li = LLa + LyL + [L1 А]. (3.3)
Уравнение (4.3) эквивалентно следующей системе уравнений:
(atat+1)v = хі&і + і — aiXi+i, (3.4)
aIt = (ai (Pi + Pi+i))y + H (Pi - Pi+1). (3.5)
Pit = (рї + ai + ai-i)v + Ч-Л-1 - 4*1- (3.6)
Уравнения (3.4) после по дет ановки х% — й{Ь\ принимают вид
aWaT1 + ai+i,VaT1I = bi - bi+v (3.7)
Решение этих уравнений определяется формулой
k=i—1
-bi-? + 2 2 WT1+ aWaT1, (3-8)
где ? — произвольная функция от I, у.
Уравнения (3.5), (3.6) после подстановки выражений (3.8) и замены ai = а\, t = 2t принимают вид (волну над Si, Ї далее опускаем)
k=i h—i—2 Pu = PiPiy + ai 2 vT1 - ai~x 2 aUyaT1 + ? (ai - ai-i)>
fc=l S=I
k=i—X \
?+ 2 VT1I h=l /
(3.9)
Полученная система уравнений (4.9) эквивалентна операторному уравнению (3.3). Поэтому согласно основной лемме § 2 главы II собственные числа fk(t, у) матрицы L (3.1) в силу системы (3.9) удовлетворяют уравнениям
U = 2 hfky (3.10)
и являются поэтому инвариантами Римана. Таким образом, система (3.9), описывающая эволюцию 2п — 1 функции pt, а.,-, обладает п инвариантами Римана (3.10). При ? = 0 система (3.9) входит в класс систем гидродинамического типа [92, 174, 175].
При отсутствии зависимости от переменной у система (3.9) переходит в известную систему для цепочки Тода. Система (2.9) также имеет представление вида (1.12).
II. Укажем другой вид системы (3.9). Из уравнений (3.7) после подстановки
Oi = exp (qt + i — qi) (3.11)
309
ait = Pi+1aiy + H (Pi + Pi+T)y + H (pi+1 - Pi) получаем
-Ьі = (?i + ?»-мЬ + 2?, X1 = Z4 exp (Чі+і-Чг). (3.12)
Уравнения (3.5), (3.6) после подстановки (3.11), (3.12) принимают вид
Pit = 2PiPiy + 4 (Чі+1іУ + ?) e2(?i+l-?i) _
-4(f/i_1;1/+P) (3.13)
k=i—l
Iit = 2PiIiyjT Piy+ 2 2 Pfty + 2?Pi + V.
где ? и 7 — произвольные функции от t, у. Любое решение системы (3.13) после подстановок (3.11), (3.12) определяет решение уравнений (3.5), (3.6), например, можно положить f = 0.
При отсутствии зависимости от у система (3.13) совпадает со стандартным видом цепочки Тода. При ? = 7 = 0 уравнение (3.13) определяют достаточно изящную систему гидродинамического типа, обладающую п инвариантами Римана (3.10).
III. Операторное уравнение (3.3) совпадает с уравнением Лакса
L1 = [;L, А — Ld/— d,jh]. (3.14)
Поэтому построенные системы уравнений (3.9), (3.13) эквивалентны также уравнению Лакса (3.14).
Система (3.9), (3.13) связана с системой (1.9) так же, как цепочка Тода связана с системой Вольтерра. Действительно, нетрудно проверить, что из операторного уравнения (1.3) матрицы L следует уравнение для матрицы Li = L2:
2L„ = L1L1, + L,„L, + [L1, A1], (3.15)
где матрица Ai = 2А — [,L, Lv]. Уравнение (3.15), очевидно, совпадает с уравнением (3.3). При этом матрица Li симметрична и имеет ненулевые элементы Liii, Ln,i+2 = L]i+2>i, матрица Ai ко-еосимметрична И имеет ненулевые элементы Лц,і + 2 = —Лц + 2.і-Поэтому при отображении Li = L2 система (1.9) преобразуется на инвариантное подмногообразие системы (3.9). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gardner С. S., Greene J. М. KruskaI М. D., Miu-га R. М. Method for solving the Korteweg — de Vries equation // Phys. Rev. Lett.- 1967.- V. 19,— P. 1095-1097.
2. M і u r a R. M. Korteweg — de Vries equation and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation Ц J. Math. Phys— 1968,—V. 9.-N 8.-P. 1202—1204.
3. Miura R. M., Gardner C. S., Kruskal M. D., Korte-weg — de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion Ц J. Math. Phys.— 1968,—V. 9.-N 8.-P. 1204—1209.
4. L a X P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves Ц Comm. Pure Appl. Math.— 1968,— V. 21,— P. 467—490.
5. Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения.— Киев: Наукова думка, 1977.
