Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Ё |^Ы4 .0):Л.у+^Ы4 X, о), 1 (5.4.12)
В к-м приближении (в*, к^2) имеем
^-= .Ё ^(л>(4 х, о)л,;+ф*Ы4 •••> л-i (4 4
l^/^w, к=2, 3, .... (5.4.13)
Функция Ф/к(.Уо(*), ••• *) получается разложением в ряды
по у, е функции /(у, х, в) и последующей подстановкой в них
(5.4.11).
Для систем уравнений (5.4.12), (5.4.13) зададим нулевые начальные условия
ук(а) = 0, к= 1,2,.... (5.4.14)
Заметим, что к-е приближения к^ 1 определяются линейными
системами ОДУ с одной и той же матрицей
5ф (л, 0), 1<г, j^n,
dyj
и различными Фь причем в к-ю функцию Фк входят только предыдущие приближения .УоМ» —>Ук-Лх)- Таким образом, последовательно можем определить все ук(х) и ряд (5.4.11). Теорема Пуанкаре решает вопрос о сходимости полученного пока формального ряда (5.4.11); сформулируем ее без доказательства.
Теорема 5.9. Пусть /(у, х, в)—аналитическая функция своих аргументов в области D. Пусть также невозмущенное решение
232 \
V,
у0(х)еО. Тогда ряд (5.4.11) сходится при достаточно малых 8 (0 < 8 < 80) к решению (5.4.8), (5.4.9) и имеет место равенство
у(х, е)= X л(^)в1+0(еА'), е->0, е>0.
к = 0
Покажем, что в том случае, когда известен общий интеграл
(5.4.10), т. е.
У((х) = Р1(х, си с„), 1 (5.4.15)
где с{—произвольные постоянные, задача определения любых Ук(х)> к^\, сводится к процедуре дифференцирования функций и интегрированию.
Матрица
дС]
определяет фундаментальную матрицу решений однородной системы, соответствующей (5.4.12), (5.4.13). Действительно, имеем
4* °)=
1*у«Ел.
к=1СГкСС] к=1сук
Пусть выбраны константы с? так, чтобы
= с?, ..., с°п)\
тогда
»К,
При этом можно показать, что
я/?.
с1е1-^(я, с?, ..., с°п)Ф0
и, следовательно, 7?(д;)—фундаментальная матрица решений однородной системы (5.4.12); (5.4.13).
Теперь, используя Л(х), можно записать решения для к^\. Например, для к ^2 получаем
Ы*)=Л(*М Л-1(*)ф*0\)(4 (5.4.16)
1
Таким образом, действительно, определение ук(х) сводится к процедуре дифференцирования для определения /?(х) и интегрирования по формулам вида (5.4.16).
В качестве примера рассмотрим уравнение колебаний тела массы т
(Т^ V
т —+а>у-|-Р};3 = 0, 0 <х<Ь,
233
притягиваемой к положению равновесия упругой силой ау + ру3, а>0, Р>0, начальные условия имеют вид
у(°)=зЛ ^(0) = 0; (5.4.17)
переменная х имеет смысл времени. Обозначим со2 = а/m, 8 = р/т.
Исходное уравнение приведем к виду
?^ + a)2.y+ey3 = 0 (5.4.18)
и будем искать асимптотику задачи (5.4.18), (5.4.17) в виде
ряда по 8:
•;)
у(х> 8)= Z Ы*)е*-
к = О
Запишем прйближение с точностью до О (г2). Имеем
1?+«>у,-у1 ,,(о)-о, ?(о)-о,
откуда находим
^o(x)=^°coscox,
3 ( )3
yi{x)= --^{УоУ xsin(0x+^^2 (cos3— cos®x)-
Следовательно, *
y(x, e)=0 cos cox+8 j^^^(cos3cox—coscox) —
— x sin cox! + О (e2). (5.4.19)
8(o J
Формула (5.4.19) содержит слагаемое
3 ( I3
— 8 --- X Sin (OX,
8a)
которое соответствует бесконечному росту (при увеличении х) амплитуды колебания и находится в противоречии с законом сохранения энергии
5m(l) +j«v2+j>4=«»w.
поскольку из этого равенства следует, что
j2<2const/a.
Таким образом, формула (5.4.19) справедлива только на интервале 0<х^Ь, длина b которого не зависит от s.
234
V
На интервалах длины порядка <9(1 /в) уже применяются иные асимптотические разложения, нежели (5.4.11), и отличные от метода Пуанкаре асимптотические методы [19].
ф 5.5. Численные методы
Рассмотрим некоторые общие вопросы численного анализа. Численные методы в конкретных классах математических задач изучаются в гл. 6—11.
Как уже отмечалось в 5.1, численным мы называем метод решения задачи, который сводится только к арифметическим действиям над числами. В этом состоит их существенное отличие от аналитических методов и методов возмущений, которые могут иметь дело с объектами, отличными от чисел, например с функциями.
Заметим, что аналитические методы после этапа манипулирования с формулами на этапе получения численного результата также сводятся к численным методам. Действительно, если результат представлен в виде конечного числа или бесконечной последовательности формул, а необходимо получить числовое значение результата, то обязательно приходим к этапу арифметических действий над числами. После аналитического представления решения задачи (получение формул) следует провести вычисления с числами, оценить погрешность результата, а это уже область действия численного метода. Таким образом аналитические методы ведут к численным. Поэтому роль численных методов в вычислительной математике столь значительна.
5.5.1. Реализация численных методов. Так как в ЭВМ числа записываются конечным набором двоичных разрядов, то можно сделать следующие выводы:
1) на ЭВМ существует возможность представить лишь ограниченное количество чисел;
2) на различных ЭВМ множество этих чисел может быть различным из-за отличия количества разрядов и формы представления числа.
На ЭВМ с двоичным представлением чисел есть такие числ^, как 1/2, 1/8, но нет таких, как 1/3, 2/5. Эти числа заменяются в вычислениях приближенно теми близкими числами, которые могут быть представлены в ЭВМ.
