Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Методы дискретизации непрерывных задач весьма разнообразны. Некоторые из них рассматриваются в гл. 6— 11.
Для примера рассмотрим один из способов перехода к дискретной задаче в уравнении (5.5.2). Разобьем интервал 0^л:<1 на N интервалов точками х{ — 1к, 0к=\ /И. Вычислив в точках х( функцию 2(х), получим вектор
По теореме Вейерштрасса непрерывную функцию у{х) можно с любой точностью приблизить полиномом И-й степени при N-+00 в норме пространства С[0, 1]. Поэтому есть надежда,
N
что если в (5.5.2) выполнить замену }>(.*)-» X с(х^ само уравнение
(5.5.5)
заменить системой равенств
N N х!
Ф;) = Е сіх‘і+ Е І 0
(5.5.6)
1 = 0 о
\
V.
решить систему линейных уравнений (5.5.6), т. е. найти коэффициенты (с0, с19 ..., cN), то при N-> оо полином
Pn(x)= Z cix‘
i = О
будет равномерно сходиться к точному решению (5.5.2), а именно
max \PN(x)—у(л:)| -»О, N-> оо. (5.5.7)
Переход от (5.5.2) к (5.5.6) и есть дискретизация непрерывной задачи.
Сравнивая (5.5.6) с (5.5.5), находим, что zl=(z(xi)), yl = PN(x), O^i^N. Оператор Fx представляется матрицей с элементами
В развернутой форме (5.5.6) имеет вид z(0) = co,
h2 hN+1
z(h)=c0+clh+ ...+cNhN+c0h+cl — + ...+cN——,
z(2h)=c0+cl2h+ ... +cN(2h)N+c0(2h)+c1QQ- +... +cN^+i ,
z(Nh) = c0 + cl(Nh)+... +cN(Nhy + c0(Nh) + c^ ^ i ‘
Обоснование сходимости приближений (доказательство (5.5.7)), оценка скорости сходимости (зависимость от N), обоснование разрешимости системы линейных уравнений (5.5.6) и определение способа решения (5.5.6) — вот круг вопросов, которые решаются в рамках численного анализа.
Как правило, способ перехода от непрерывной задачи к дискретной и отличает один численный метод от другого в одном и том же классе задач.
# 5.6. Оценка результатов вычислений
Обращая внимание на схему решения технической задачи (см. рис. В.1), замечаем, что результаты вычислений на ЭВМ необходимо оценить с точки зрения поставленной задачи. В первую очередь необходимо иметь оценку допущенной погрешности в вычислениях. Роль этого этапа в вычислительном процессе сильно зависит от характера принимаемых решений в технической задаче на основе результатов вычислений. Если ошибка в третьем знаке после запятой некоторого числа может привести к тому, что
вычислитель «взлетит на воздух», то, по-видимому, он должен уделить большое внимание оценкам возможных погрешностей и провести вычисления с пятью верными знаками.
Оценка погрешности, которая может быть получена до проведения вычислений, называется априорной, после проведения—апостериорной.
5.6.1. Три типа погрешностей. В процессе решения задачи возникают следующие погрешности:
1) погрешность математической модели;
2) погрешность численного метода;
3) погрешность вычислений на ЭВМ.
Рассмотрим три типа погрешностей на примере. Предположим, что решаетсязадача определения одномерного движения материальной точки массы т, которая сводится к интегрированию уравнения Ньютона
здесь у—координата точки, л;—время.
В правой части (5.6.1) сила, действующая на тело, которое идеализированно заменено точкой, разделена на два слагаемых: / и в. Первое слагаемое—это учитываемые силы, второе— неучитываемые, они фактически отбрасываются, и математическая модель описывается уравнением
Если считать, что реальный процесс у(х) дает решение задачи
(5.6.1), (5.6.2), то, обозначая решение модельной задачи (5.6.3),
(5.6.2) через у^х), получаем
где (л:)—погрешность математической модели.
Предположим, что точное решение задачи (5.6.3), (5.6.2) представляется сходящимся степенным рядом
где коэффициенты Ак определяются функцией / и могут быть найдены для любого к по известным формулам.
В качестве численного метода предложим нахождение Лк, 1 ^ к < ЛГ, по этим формулам и определение ЛГ-й частичной суммы ряда (5.6.4) (дискретизация)
с начальными условиями
(5.6.2)
(5.6.3)
51 (*) =Я*)-У1 (х)> а ^ х ^
00
Д>1(*)= ? Ак(х-а)к,
(5.6.4)
N
Уг(х)= ? Ак(х-а)к.
(5.6.5)
240
V.
Таким образом появляется погрешность
где 82(х)—погрешность численного метода.
Если в задаче требуется найти значение ^(д:)—положение тела в точке х, то следует реализовать вычисления Ак, суммирование и возведение в степень на ЭВМ по формулам
N
Уэ(х*) = X ^4*®(х*©я*)*. (5.6.6)
к = О
В (5.6.6) звездочкой отмечены числа ЭВМ, которые, как уже известно, записываются с округлением в конечное число разрядов и отличаются от точных в (5.6.5), хотя и близки к ним. Знаки ®, © соответствуют арифметическим операциям х, —, ре-
ализованным на ЭВМ. Результаты арифметических операций ЭВМ также могут отличаться от точных. Эти вопросы подробнее рассматриваются в п. 5.6.5.
Сравнивая (5.6.6) с (5.6.5), находим
где 83(х)—погрешность вычислений на ЭВМ.
Полная погрешность 8(х) численного решения задачи на ЭВМ — это сумма трех указанных выше погрешностей:
5(д:) = 51(л:) + 62(д:) + 8з(д:)=^(л:)- ? (д;*©я *)*.
к = О
Чтобы оценить погрешность, вводят какую-либо норму для функций например равномерную С[а, Ь\ затем оценивают
каждую погрешность отдельно и используют неравенство
II 5(*) К || 8Х (*) || + || 82 (х) || + || 83 (*) ||. (5.6.7)
