Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Для 8Х обычно находят априорную оценку, используя специальные технические знания. Получение оценки 82, априорной или апостериорной,— одна из основных задач создания методов вычислений и является составной частью метода. Оценка 83, как правило, получается апостериорно.
Из (5.6.7) вытекает следующая практическая рекомендация: при решении задачи величины погрешностей (нормы) трех типов 81? 82, 83 желательно, чтобы были одного порядка. Действительно, значительная разница в 8Х и 82, а именно ||82 || с ||8Х ||, может привести к бессмысленной трате машинного времени, так как точность решения задачи лимитирует величина || 8Х ||.
Несколько сложнее обстоит дело с выполнением соотношения II53 II ~ II82 ||. В некоторых вычислениях оказывается, что || 83 ||
<§: || 821| из-за характеристик ЭВМ, имеющих большое число разрядов для хранения чисел, а следовательно, приводящих к избыточной точности вычислений. Создается впечатление, что повышенная точность вычислений «дается даром», а ситуацию нельзя
241
изменить. Но это не так. Лишние разряды машинного слова могут использоваться для более плотной упаковки в памяти ЭВМ чисел или перехода к целочисленной арифметике — все эти операции приводят к ускорению вычислений, но техника таких вычислений выходит за рамки настоящей книги.
Если оказывается, что || 531| > || 521|, то обычно переходят к вычислениям с двойной точностью, т. е. к использованию описания чисел типа DOUBLE PRECISION. Это дает возможность в представлении чисел держать ~ 17 десятичных разрядов после запятой, но при этом увеличивается время вычислений.
5.6.2. Абсолютная и относительная погрешности чисел. Результатом вычислений на ЭВМ являются числа. Поэтому погрешность вычислений—г^то погрешность чисел, полученных в результате вычислительного процесса.
Для записи чисел и указания их погрешности часто применяются понятия абсолютной и относительной погрешностей. Пусть я—точное значение некоторой величины, я+—приближение к я.
Абсолютной погрешностью приближения а+ называется величина А (я*), удовлетворяющая неравенству
1«*-в| <АЮ-
Например, я = тс, я* = 3,14; тогда
13,14—7г| < 0,002 = А(3,14); пусть я* = 3,141, тогда
|3,141 -тс| ^0,0006 = Д(3,141).
Относительной погрешностью приближения я* называется величина 8(я#), удовлетворяющая неравенству
а*~а
В качестве 8(я*) можно взять Имеем
8(3,14)=— <*0,064%,
5(3,141)=^ ^0,002%.
Абсолютная и относительная погрешности записываются в виде чисел с одной или двумя значащими цифрами, при этом производится округление с избытком. Абсолютная и относительная погрешности указываются в записи чисел следующим образом:
я = я* ± А; я = я,и(1±5).
Например,
тс = 3,14 + 0,002; тс = 3,141 (1 + 0,002%).
242 \
V.
Значащие цифры десятичного числа—это все его цифры начиная с первой ненулевой слева.
Например, в записи числа 0,002306 подчеркнуты значащие цифры.
Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.
Например, в записи чисел
0,002306 ± 0,00001; 0,002306 ± 0,00006
подчеркнуты верные значащие цифры.
5.6.3. Потеря верных значащих цифр при вычитании близких чисел. Это явление легко продемонстировать на примере. Пусть имеем два близких числа
х} =0,01234, х2 = 0,01231
с абсолютной погрешностью 0,000002 (подчеркнуты верные значащие цифры). Разность чисел
у = х1—х2~ 0,00003
имеет только одну верную значащую цифру с абсолютной погрешностью 0,000004 (см. п. 5.6.4). Произошла потеря трех верных значащих цифр. Этот факт следует учитывать при составлении алгоритма. Можно пытаться избежать потери точности с помощью алгебраических преобразований.
Например, решение квадратного уравнения
х2+рх+ц=0
при малых ц
хиг=-Р12±у/Р214~Ч следует представить в эквивалентном виде
^ = -р12~у/р21^-Ч, х2 = -
-я
р12+^/р21А-ч
чтобы в вычислениях не содержалось вычитание близких чисел
р!2 и у/р/А-я.
Изменение последовательности вычислений также может привести к повышению точности результата. Например, расстановка скобок в выражении
у = (а — Ь) + с = а+(с — Ь)
во втором варианте предпочтительнее при близких по значению числах а и Ь.
5.6.4. Оценка погрешности функции по погрешности аргументов.
Пусть для простоты изложения имеется функция двух переменных
243
I
Х*-ДХ X* х*+дх Рис. 5.13
У * и{х, у), значение которой вычисля-
у*+ду —------------- ется в точке ^ у^ заданной при-
У* -- б ближениями а именно
У*-ДУ -------------- х = х^±Ах, у=у^±Ау,
т. е. аргументы задаются с абсолютной погрешностью Ах, А у, а следовательно, областью неопределенности точных значений (х, у) является область (/ = {(х, у) :х*— Ах +Ад;, у^-Ау^у^у^-\-Ау}
(рис. 5.13). Требуется оценить абсолютную погрешность функции
М**, у Л
удовлетворяющею неравенству
\и(х,у)-и(х„,у„)\ ^Аи(х„, у„).
Теорема »5.10. Пусть функция и(х, у) непрерывна вместе со своими первыми производными по х, у в области (7. Тогда
ди/
Аи(х*, у*) = шах
в
дх
(х,у)
Ах+шах
в
4у.
Доказательство. Представим функцию и(х, у) формулой Тейлора
и(х, у) = и(х„ + + У* + ^~У*))
