Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
В большинстве случаев смысл предвычислений состоит в составлении таблиц чисел, обращение к которым значительно сокращает вычислительное время варианта. Может оказаться, что даже таблица умножения окажется предпочтительнее арифметической операции в какой-либо конкретной задаче.
Программирование алгоритмов серийных вычислений также обладает рядом особенностей:
во-первых, возможна оптимизация фортран-программы (см. п. 3.4);
во-вторых, написание часто повторяющихся фрагментов программы на машинно-зависимом языке типа макроассемблера;
в-третьих, аппаратная реализация некоторых фрагментов программы.
Последние два указанных приема относятся уже к более высокому уровню владения вычислительной техникой, нежели тот, который принят в данной книге.
Глава 6 ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ
# 6.1. Введение
Если понятое «приближение» трактовать в широком смысле этого слова, то большая часть методов вычислений окажется элементами теории приближений. Однако в этой главе под теорией приближений понимается узкий круг вопросов, связанных с приближением функций одного или Нескольких переменных с помощью других функций. Часто этот круг задач называют задачами аппроксимации функций.
Рассмотрим некоторые практические задачи, приводящие к аппроксимации функций.
6.1.1. Ускорение времени вычислений функций на ЭВМ. Предположим, что решение задачи требует многократного вычисления функции /(х) в различных точках интервала а^х^б. Функция /(х) задана громоздким аналитическим выражением, например
/(х) = со8^28Ш^^х2 + 2 со$2кх^,
Тогда естественно стремление заменить функцию /(х) в некотором смысле близкой функцией #(х) (аппроксимировать /(х)) так, чтобы
||/(х)-^(х)|| <е,
где в — точность аппроксимации. При этом вычисление #(х) должно быть значительно более быстрой процедурой, нежели /(х). Возможно, удастся найти полином 4-й степени РА(х) = а0+а1х+а2х2 + + я3х3 + я4х4 такой, что
шах |/(х) — Р4(х)|<8, (6.1.1)
с удовлетворительной точностью 8 аппроксимирующий /(х). Тогда вычисление /(х) заменяется вычислением P4(x)=g(x);
f{x)~g(x). (6.1.2)
Количество арифметических операций при этом сокращается в сотни раз.
6.1.2. Экономия памяти ЭВМ. Предположим, что функция /(х) задается своими значениями в узлах х?, 1</<л, интервала я^х^б:
X; XI Х2 ... Х_,
(6.1.3)
248
л*.) /(*1) /(*2) - /(*.)•
\
Далее в вычислительном процессе используется эта таблица. При большом числе п хранение таблицы (хь /(X)) в памяти ЭВМ может оказаться слишком обременительным либо вообще невозможным. Тогда естественно возникает задача аппроксимации /(х) близкой функцией g(x), зависящей от небольшого числа параметров, например от пяти (я0, д1? а2, аъ, а4)
g(x)=P4(x),
так, чтобы выполнялось условие (6.1.1). При этом в памяти хранится только пять чисел—значения параметров. Значения /(х) теперь не хранятся, а вычисляются приближенно по формуле (6.1.2).
6.1.3. Поиск эмпирических закономерностей по экспериментальным (табличным) данным. Экспериментальные результаты обычно представляются в виде таблиц типа (6.1.3). Экспериментатор на основе практического опыта предполагает, что полученная таблица /(х) является реализацией эмпирического закона g(x, а) с неизвестным параметром а, параметр может быть вектором. Тогда возникает естественная задача определения такого параметра а, при котором эмпирическая закономерность, т. е. g(x9 а), наилучшим образом аппроксимировала экспериментальные данные, т. е. /(х).
Например, при исследовании состава , вещества на основе спектрального анализа может быть получена таблица функции
(6.1.3), изображенная на рис. 6.1. Можно предположить, что спектр (*»»/(*г)) получается суперпозицией спектров двух веществ. Каждое вещество дает спектр вида (рис. 6.1)
gi(x, й)=й21(е“‘,1->'(х_ао-г)2, 1 = 1, 2.
Возникает задача поиска параметров (а0^9 а2,*) таких, что
2 2 II 2 «2, Iе в1,г(* а°’° —/(^|)|| —>1ШП. (6.1.4)
1 = 1
Решив эту задачу, можно получить разложение экспериментального спектра на составляющие, т. е. найти оценку вклада каждого компонента в результирующий спектр, а отсюда можно сделать вывод о содержании каждого компонента в веществе.
249
6.1.4. Классификация задач теории приближений. Простейшая классификация содержит следующие две основные характеристики задачи:
1) норму, в которой осуществляется аппроксимация || /(*) — -g(x, а) II;
2) вид зависимости от параметров а в семействе функций g(x, а). Мы будем рассматривать только два типа норм:
а) равномерную непрерывную норму
11/11= max |/(х)| ,
а^х^Ь
б) среднеквадратичную интегральную норму
li/MJ/^H1'2 : а
или дискретную норму
11/11-(^тД/2Ц‘“
согласованную с интегральной в том смысле, что
j m \ 1/2 /1 \ 1/2
m \ 1/2 /1 \1
s/ь) - (imdx)
= 0 / W-^OO \0 /
(т+1) 1=0
когда предел существует.
Задачи аппроксимации, использующие норму а) в качестве меры близости, называются задачами равномерного приближения. Основополагающие работы в этом направлении принадлежат русскому математику П. Л. Чебышеву (1821 —1894).
Задачи аппроксимации, использующие норму б) в качестве меры близости, называются задачами среднеквадратичного приближения. Первые работы этого направления связывают с именем немецкого математика К. Гаусса (1777—1855).
