Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
По второму признаку задачи теории приближений делятся на линейные и нелинейные. В линейных задачах параметр а = = (а19...,ат) входит в семейство #(.*, а) линейно, т. е.
т
g(x, а)= 2 а$}{х),
}=у
при этом функции #,•(*) нелинейны. Например,
т
g^x, а)= 2 а}х>~1,
J=l
т
g^x, а)= 2 а^т(ух).
1=1
250 ^
V
В нелинейных задачах параметр а входит в семейство нелинейно, например
g{x, а) = аъъ~а2(x~ai)2}
т
g(x,a) = S sin fax). (6.1.5)
j= 1
Если в семействе (6.1.5) параметры а19 а2 известны, то задача приближения становится линейной.
В этой главе в качестве семейств функций g(x, а) рассматриваются полиномы Рп(х) на всем интервале [а, Ь] либо функции Sn(x), являющиеся полиномами на подынтервалах xf<x<xi+1 (х(е [а, Ь]), так называемые сплайны.
Пусть в задаче приближения заданной функции /(х) семейством g(x, а) определяется элемент, реализующий условие
min ||/(*)-g(x, а) ||,
тогда этот элемент называется наилучшим.
Например, если
п
g(x, а) = Р„(х) = X Чх‘
i = О
и выбирается равномерная норма, то полином, который доставляет
п
min max \f(x) - ? щх‘\,
a^x^b *=о
называют полиномом наилучшего равномерного приближения; если выбирается среднеквадратичная норма, то полином, который доставляет
/ 1 т и \ 1/2
“i“ - 2 (f(xj)~ s aixj)2j >
\m 7=1 i = 0 /
называют полиномом наилучшего среднеквадратичного дискретного приближения.
# 6.2. Интерполяция
Приближение заданной функции /(х) полиномом л-й степени Р„(х) можно выполнить множеством способов.
Например, если /(х) разлагается в ряд Тейлора на интервале
а^х^Ь, то отрезок ряда—многочлен Тейлора п-й степени—дает
полином, аппроксимирующий /(х):
/(х)~/(а)+Ц^(х-а)+...+?-^{х-а)я = Рп{х).
Оценка погрешности аппроксимации следует из формулы остаточного члена отрезка ряда Тейлора
max |/(x)-fa(x)K^~^,t max |/в+1)(*)|.
a^x^b \ /* a^x^b
251
X (хт- «*) 1(Хг) •1) •
• •
а X ь 1
ха Х1 хг хт-1 хт Х
Рис. 6.2
Та же функция может быть представлена многочленом Тейлора с центром в любой точке се [а, Ь], а именно
А*)-Лс) +"тг(*-с)+ - с)"-
Пусть известны значения /(х) в узлах Xj интервала [а, Ь], х0<хг<... <хт, а = х0, Ь = хт, а именно: Дх0\ Дхх)9 ... Дхт). Задача интерполяции состоит в том, чтобы найти приближенное значение Дх) в точке хфхь (рис. 6.2). Можно предложить метод решения этой задачи, в основе которого лежат ряды Тейлора с центрами в узлах х].
Положим
Дх)*А*/) (6-2Л)
где х]—ближайший к х узел. Формула (6.2.1) дает пример интерполяционных формул. Основной ее недостаток состоит в том, что используются значения производных функции /(х) в узлах, которые могут быть неизвестны, например, если Дх) задана таблично.
6.2.1. Интерполяционный полином Лагранжа. Свободным от указанного выше недостатка является полином Лагранжа Рп(х), который определяется только значениями /С*,) из условия
=/(*,), 0<у<л. (6.2.2)
Условие (6.2.2) означает, что график полинома п-й степени должен проходить через точки плоскости (х, у) с координатами (х,-, /(*,)) (рис. 6.3).
Покажем, что условие (6.2.2) обеспечивает существование и единственность интерполяционного полинома Рп(х) = а0 + а1х+ ... +апхп. Теорема 6.1. Для любых значений /(*,-) и различных узлов х,-, существует единственный интерполяционный полином.
252 \
Рп(Х)
Хг,-, Хп
Рис. 6.3
Доказательство. Покажем, что условие (6.2.2) эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов полинома а = (а0, а19 ап) с определителем, отличным от нуля. Действительно, (6.2.2) в развернутом виде
п
Е х)а1=/{х)\
1 = 0
представляет собой систему уравнений относительно вектора а
Ха=у, (6.2.3)
где матрица X имеет элементы Хи]=х], вектор у = (/(х0\/(х1), ...,/(х„)). Определитель матрицы X—это определитель Вандермон-
да
1 *о Хо. .. ДГо
дах= 1 *1 х\. ..Xя!
1 Хп Хп •
равный произведению П всевозможных разностей узлов. В силу того что узлы различны, &е1ХФ$. Поскольку ёе^^О, решение системы уравнений (6.2.3) существует и единственно, а отсюда следует утверждение теоремы.
Интерполяционный полином Лагранжа можно записать, не решая систему (6.2.3), в виде
Р М = /Гг Ъ (х-х1)(х-х2)...(х-хп) ,
, V (х-Хо)(х-х2)...(х-х.) (х1-х0)(х1-х2)...(х1-х„)
253
Легко видеть, что Рп(х)— полином п-й степени и что выполняется
(6.2.2), тогда из теоремы 6.1 следует, что это интерполяционный полином Лагранжа.
Определим полином (л+1)-й степени:
ro»+i(*)=(*-*o)(*-*i)»-(*-*»)-Оценка погрешности интерполяции /(х) с помощью полинома Лагранжа дает следующая теорема.
Теорема 6.2. Пусть f(x)e С(п + 1) [a, b ], J, х}е [а, b ]. Тогда
f(x)=Pn(x)+-L^tоп+1ф, (6.2.4)
где точка ^=^(х)е [а, Ь].
Доказательство. Определим функцию
; ^ u(x)=f{x)-Pn(x)-k(on+1(x). (6.2.5)
здесь к—не известная пока константа. Заметим, что и(х) имеет
йа [а, b ] по крайней мере п +1 нулей, а именно:
u(xj) = 0,
Покажем, что число к можно выбрать так, чтобы м(х) = 0, хфхj, хе{а, Ь).
Для этого следует положить
№ - рп(х) - +1 (*)=о.
Поскольку (о„ + 1(х)^0, можно найти
к=—-рАр«$)-№)?
<*>„ + l(x)
Выразим к через производную /(*). Функция и(х) имеет на [а, Ь] п + 2 некратных нулей, функция и'(х)— п+1 нулей, ..., и{п+1)(х) — 1 нуль. Обозначим его ?, значение ? зависит от точки х9 т. е. ? = ?(*). Имеем
