Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
ФС3-теория допускает обобщения на пространства, отличающиеся от гильбертовых.
Теория интегрируемости представлений алгебр Ли в квазиполных локально выпуклых пространствах была дана в работе Флато и др. ([269], § 5). Случай представлений в банаховых пространствах детально разработан в работе [462 ].
§ 7. «Уравнение теплопроводности» на группе Ли и аналитические векторы
В этом параграфе мы опишем интересный глобальный метод построения аналитических векторов для представления T группы Ли G. Он представляет собой обобщение метода Гординга построения регулярных векторов. Фактически мы заменяем функцию Ф ? С" (G) в интеграле (1.12), т. е.
и ((|) = I с( (х) TxIi d.v, (1)
G 430
Г лава 5
на определенную аналитическую функцию, которая достаточно быстро убывает на бесконечности вместе со всеми смешанными частными производными. Классом всех таких функций являются решения уравнения теплопроводности на группе Ли. Случай неунитарных представлений требует только незначительного расширения доказательства леммы 3 (см. ниже). Поэтому мы рассмотрим здесь случаи унитарных и неунитарных представлений одновременно. Для простоты изложения мы ограничимся унимодуляр-ными группами Ли.
Пусть Xi, і = 1, 2, ..., d = dim L, — генераторы правых сдвигов в Я = L2 (G)1 и пусть А = Х\ + ... -j- X2d. Тогда под уравнением теплопроводности на группе Ли G мы понимаем уравнение вида
(w -Д)ф V> *)==0' (2)
где t — вещественный параметр и х ? G.
Если G — группа трансляций вещественной прямой, то (2) имеет вид
(I--Sr)^'*) = 0' (3)
т. е. это обычное одномерное уравнение теплопроводности.
Из теоремы 2.2 мы знаем, что симметрический эллиптический оператор Ab L2 (G) существенно самосопряжен. Обозначим через А его самосопряженное расширение в Я и положим
ф (<,*) = (ехр (*Д)/)(*). (4)
где / ? С~ (G) и t > 0. Согласно спектральной теореме (приложение Б.З, теорема 1), мы имеем д,ф = Аф = Аф. Поэтому ф — решение уравнения теплопроводности (2). Более того, ф (t, х) —> / (л) при t —> 0.
Пример 1. Пусть G — группа трансляций вещественной прямой. Тогда А = d2/dx2 и общие решения (4) соответствующего уравнения теплопроводности (3) имеют вид
-f-oo
ф (t, х) = ехр (t f (х) = j ехр ^ — } Ь(х — у) f (у) dy.
— во Неограниченные операторы
431
Ядро ехр (M2Idx2) 6 (х — у) может быть записано в виде
+ OO
ехр (M2/dx2) І ехр \\р (х - у)] dp =
+
1
/ (х-у)2 \ exP (--—4i~)
- 2л J ЄХР (— tP^ ЄХР [[Р _ УйР --уШ-•
— со
Поэтому
OO
4,(/, = f ехр[—ff Со (G). (6)
--OO
Ядро (5) является хорошо известным фундаментальным решением (функция Грина) уравнения теплопроводности. Заметим, что если t —> 0, то
ехр [--?^-]-6(х-у),
4л t
и, следовательно, <p (/, х) —> f (х).
Мы видим, что функции (5) и (6), так же как и все их производные, убывают на бесконечности быстрее, чем любая экспоненциальная функция. Это является общей особенностью решения (4) уравнения теплопроводности (2) для произвольной группы Ли. Чтобы сформулировать это свойство точно, используем понятие расстояния на произвольной группе Ли (гл. 3, § 9).
Пусть т (х) =т (х, е) — расстояние от единицы е до х в связной группе Ли G. Покажем, что функция <p (t, х) = ехр (/Д) / с / f f С~ (G) убывает быстрее любой экспоненты.
Лемма 1. Пусть ф (t, х) = ехр (/Д) / (х), / f Qo (G), и пусть s — вещественное число. Тогда
(ехр (st) ф, ф) « ехр (-L s2/) (ехр (st) /, /), (7)
где (•, •) обозначает скалярное произведение в H = L2 (G).
Замечание. Ясно, что правая часть (7) конечна, так как f имеет компактный носитель. Умножая обе части (7) на
ехр ?--L S2 (t -|- е) ], где є > 0, получаем
(ехр [ - -L S2 (/ + є) J1- .st] ф, ф) с (ехр [ - 4 es2 ! -st] /, /) . (8) 432
Г лава 5
Интегрируя затем обе части по s в интервале (—оо, +оо), имеем
{t + Е)-1/2 (ехр [- 2(?-] ф. ф) < е~1/2 (ехрI-та/2е]/, /). (9)
Таким образом, в силу множителя ехр (—т2/2 (/ + є)) в левой части (9) при фиксированном t и при х —» оо функция ф убывает быстрее, чем
exP (—4т-)- (,0>
Это прямое обобщение на произвольную связную группу Ли результата, полученного нами для группы трансляций прямой [см. (6)].
Доказательство леммы 1. Пусть X1, ..., Xd-базис в левоинвариантной алгебре Ли L, и пусть
Vu = [X1U, ..., Xdu] (11)
— градиент функции и из Я. Скалярное произведение Vu и Vv равно
d
(VafVD) = S(X1UfXf-D). (12)
1=1
Ясно, что
(V», Vd) = (—Аи, d) = (и, — Ad),
где A = Xi+... +Xd — левоинвариантный лапласиан на G. Пусть H1 — линейное подпространство в Я, состоящее из элементов и ? Я, удовлетворяющих условию
Il a Il + IlVu Il <оо. (13)
Для дифференцируемых по t функций d (_ H1 и для вещественной функции h, ограниченной вместе с ее производными Zi1 = dth и XiIi, удовлетворяются следующие тождества (d1 = dtv):
(d1, /1?) +(/t2d, d1) = df (/id, hl') — 2 (IllIlV, v), (Vd, V (h2v)) + (V (h2v), Vd) = 2 (V (/id), V (hv)) -2(v Vh, v Vh). ^ Просуммировав эти тождества и разделив на 2, получим
ReKD1, h2v) + (W, V (hh% = J-dJAif +
