Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Определение 4. Будем говорить, что функция /(х) непрерывна в точке а по направлению ё, если ф(і) непрерывна в точке t = 0.
Имеет место следующее очевидное свойство. Ёсли /(х) непрерывна в точке х = (х как функция п переменных, то она непрерывна в точке а по любому направлению ё. Обратноеs вообще говоря, неверно.
Примеры. 1. Пусть функция f{x, у) задана следующим образом:
если X2 + у2 Ф О,
i2 1
Д*,у)Н у
( 0, если X = у = 0.
Она непрерывна в нуле по х и по у, но разрывна в этой точке как функция двух переменных X, у.
2. Пусть функция /(х,у) задана соотношениями:
Г
J >
U
/(*,„) = { если +
если X = у = 0.
Она является непрерывной по любому направлению, проходящему через точку X = 0, у = 0, но разрывна как функция двух переменных в этой точке.
Рассмотрим теперь отображение F : IRn-+ Em. Этому отображению однозначно соответствуют m функций у?Г(х),..., которые представляют собой координаты точки у = F(x) € Km, т.е.
у = (y?i(x),..., <pm(x)), у, =<pt(x), S = 1, . . . , 171.
Утверждение. Для непрерывности отображения F : Rn —> Mm в точке хо Є Kn необходимо и достаточно, чтобы все функции tft(x) были бы непрерывны В точке X = Xo-
Доказательство непосредственно следует из определения непрерывного отображения, поскольку
а»-ЬЛ\<
\
?(а, - Ь,у
t=l
Переформулируем теперь теорему о непрерывности сложного отображения метрических пространств на случай функций многих переменных.
315- Теорема 1. Пусть / :Шп Rm, 5 : Em —> Е, и пусть отображение f(x) непрерывно в точке X = Xq, а функция д(у) непрерывна B точке Уо = /(^o)- Пусть также В некоторой окрестности ТОЧКИ Xo определена сложная функция Н(х) = g(f(x)). Тогда функция h(x) непрерывна в точке х = доопределение 5.' Функция F : А -У Ш, А С Ж", называется равномерно непрерывной на множестве А, если для любого є > 0 существует число S = S (є) > 0 такое, что для любых х,у Є А с условием р{х,у) < 8 имеем IF(г) — F(у)I < е.
Теорема2. Функция F, непрерывная на компакте К, является разномерно непрерывной на нем.
Доказательство. Зададимся произвольным є > 0. Возьмем число Єї = є/2 и для каждой точки х € К рассмотрим окрестность 0(х,6?(єі)) точек у С условием |/(х) — /(у)| < ?1. Тогда "усеченные" окрестности 0(х,^5х(єі)) покрывают компакт К. По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. В качестве 8 = возьмем минимальный из конечного числа радиусов выбранных шаровых окрестностей.
Если теперь возьмем любые х,у с условием р(х,у) < 8, то оказывается ДЛЯ ТОЧКИ X, покрытой некоторой окрестностью О(хо, I^jf0 (^l)), выполняются неравенства
jf(x) - /(X0)I < Єи р{х,х0) < itf«0(ei).
Кроме ТОГО, имеем р(х,у) < 8 < (^i)- Поэтому
р(у> «0.) < р(у> х) + р(х, X0) < Sxq (єї),
откуда следует, что |/(у)-/(х0)| < Єї. Значит,
IfW - Ну)I < 1№) - /(*о)| + |/(Ao) - /(У)! < 2єі = е.
Таким образом, для любого числа є > 0 мы указали 8 — 6(e) такое, что для любых і, у Є К с условием р(х,у) < 8 выполнено неравенство \f(x) — /(у)I < є, следовательно, функция f(x) — равномерно непрерывна на компакте К. Теорема 2 доказана.
316- § 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ В М*
Пусть числовая функция /(х) определена в некоторой окрестности точки г = а? Mn.
Определение 1. Приращением Д/(х) функции /(х) в точке X = a называется разность Д/(х) = f(x) — f(a). Разность Ax = х — a называется приращением аргумента» х.
Длина вектора Дх обозначается через |Дх| и равна p(x,a).
Утверждение 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х == a, то приращение ее Af(x) стремится к нулю при Ax1 стремящемся к нулю, т.е. Af(x) = о(1).
Доказательство очевидно следует из определения и свойств предела функции по базе множеств.
Определение 2. Линейная функция от приращения аргумента Ax называется дифференциалом df(x) функции /(х) в точке х = a, если приращение Af (х) прк Ax —? 0 можно представить в виде
Af(x) = df(x) + o(\Ax\).
Будем говорить, что функция f(x) дифференцируема в точке X = й, если существует дифференциал df(x) функции в точке х — а.
Утверждение 2. Если функция дифференцируема в точке х = a, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство очевидно следует из того, что приращение Af (х) стремится к нулю при Ax —? 0.
Итак, подчеркнем еще раз, что дифференциалом df(x) функции /(х) в точке X = a называется линейная или главная часть приращения функции f(x) в точ^е X = а. Поскольку df(x) — линейная функция, ее можно записать в виде
п
df(x) = Aiix1 - ai) +----h An(xn - an) = AxA,
t=i
где As — некоторые вещественные числа и Ах, = хл — as. Если f(x) — xSt то df(x) = dxs = Axa.
Теоремаї. Пусть f(x) дифференцируема в точке х = a, тогда все координатные функции </>4(хЛ) = /(ai,..., х,,..., ап) дифференцируемы в точках Xs = a,, s = 1,..., п, причем As = <ps(as).
Доказательство. В формуле для приращения Д/(х) в точке X = a через его дифференциал положим хг = ar при г ф s. Получим
Af(x) = f(x) - f(u) = AiAxa + о(|Дх,|).
317- Тогда согласно определению функции <ра{ха) будем иметь /(х) - f(a) = <ра(хв) - <р,(аа) = AaAxi + о(|Дх5|),
