Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
т.е.
Л Ktti Ы*»)-У>*М _ ' ,„ ч
Aa = hm ---= Vsia*)-
Дат, -tO Дх,
Определение 3. Производная <р'3(аа), когда она существует, называется частной производной функции /(ж) в точке X = a по s-й переменной и обозначается так:
- TST - -1Ї7
?=Я
Следствие. Дифференциал функции f(x) в точке х = a однозначно записывается в виде
Jff=U -WsK . .9/(3)
Доказательство очевидно.
Пример. Пусть /(ж, у) = X2 + ху. Тогда
= 2* + у, = у) = (2. + »)«. + Xdy.
Итак, необходимым условием дифференцируемости функции в точке является существование всех ее частных производных в этой точке. Докажем теперь одно достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
Теорема 2. Пусть в некоторой окрестности точки а существуют все ее частные производные 9^jfJ, S = 1,...,п, и эти частные производные непрерывны в точке X — а. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в этой точке.
Доказательство, Только для краткости записи будем считать, что n = 2. Приращение А/(х,у) функции /(х,у) в точке {а, 6} можно записать так:
Afix1 у) = f(a + Ах, b + Ду) - /(а, Ь) =
= (/{а + Дж, 6+ Ду) - /(а, Ь + Ду)) + (/(а, Ь + Ду) - /(а, Ь)).
К каждой из двух разностей в скобках можно применить формулу конечных приращений Лагранжа, поскольку в рассматриваемой
318- окрестности точки (а, Ь) функция f(xyy) имеет непрерывные частные производные по ж и по у. Получим
д /(g| g) = »/(« + ^X, 6 + Ay) Ах + Д/(а, 6 + qAy) ^
ох ду
где — некоторые постоянные, 0 < < 1.
Далее, в силу непрерывности частных производных при Ax —^ О имеем следующие соотношения:
—Si-= ST-+о(1)'
0/(а,6 + іуДу) = 0/(а,6)
ду ду
Отсюда следует, что
+ 0(1).
д/(х, у) = Дх + ^as + о(|Дх| + ІДИ).
Поскольку
|Дх|< |Дх|, |Ду|< |Дж|,Дх = (Дх,Ду),
имеем
Afix1 у) = У^-dx + ^^dy + о(| Д*|) = df(x) + о(| Д*|),
т.е. функция f{x,y) дифференцируема в точке (я, у) = (а, 6). Теорема доказана.
Приведем пример непрерывной, имеющей частные производные, функции в окрестности точки (0,0), но недифференцируемой в этой точке: z = >/[яу|.
Частные производные этой функции, очевидно, существуют при X2 4- у2 ^ 0. По определению они существуют в точке (0,0) :
Az(0,0) = ZjAx10)-2(0,0) = 0 Az(OlO) = Q Ax Ax ' Ay
следовательно, ^(0,0) = 0, Zy(0,0) = 0.
Если же Ax = Ay > 0, то приращение функции z{x,y) в точке (0,0) равно Ax1 но по определению дифференциала оно должно быть о(Дж).
Таким образом, функция z = \J\xy\ не является дифференцируемой в точке (0,0). Лекция 22
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема. Пусть у?(х) = (<pi(x),... ,<рт(х)) есть отображение из IR" в Rm, определенное в некоторой окрестности ТОЧКИ х = a и дифференцируемое в этой точке. Пусть, далее, для всякого е > О при отображении <р образ некоторой 6-окрестности О(a, S) содержится в є-окрестности точки b = <р{й). Пусть,, наконец, для любой точки у Є 0(6, е) определена числовая функция /(у), которая является дифференцируемой в точке Ь. Тогда сложная функция h(x) = f(<p(x)) является дифференцируемой в точке X = a, причем имеют место равенства
dh _ dh d(pi dh d<pm g _ ^ Bxt ~ dyi dxs dym dxs ' ~ '"''
Здесь частные производные по переменной х3 рассматриваются в точке X = a, а частные производные по у/, I= 1,...,т — в точке у = Ь.
Доказ a-те ль с т в о. Ввиду дифференцируемости функции /(у) в точке у = Ь приращение функции Af при произвольном приращении аргумента Ay = у — Ь можно представить так:
Af = df + o(\Ay\),
где
$ XJ Qyi^yi'
Подставим вместо Ayi приращение Aipi функции <fi(x) соответствующее приращению Ax аргумента х. Тогда слева в этой формуле мы получим Ah(x) и она принимает вид
і г=і
В силу дифференцируемости функций <р[(х) имеем
Д^((х) = V^Ax4 + о(|Дх|), I= I,..,,т.
320 Частные производные функций <рі (і) в точке х — а — это конкретные вещественные числа. Поэтому существует число M > 0, такое, что они по абсолютной величине не превосходят М. Тогда имеем
\A<pt(x)\ < 2Мп\Ах\, \Atp\ < 2Мп2\Ах\.
Отсюда найдем
о(\АГ(х)\) = о(\Ах\).
Подставляя теперь значения А<рі(х) в формулу для Ah(X)i получим утверждение теоремы. Теорема доказана.
Следствие! (инвариантность формы первого дифференциала). Если в выражение для первого дифференциала df(y) вместо независимого приращения Ays подставить дифференциал функции ys = (р3 (х), то полученное выражение будет дифференциалом сложной функции h(x) = f(<p(x)). Другими словами, форма первого дифференциала функции не изменится, если независимые переменные оказываются зависимыми функциями.
Доказательство. Утверждение следствия -— простая переформулировка утверждения теоремы.
Следствие2 (правила дифференцирования), Справедливы следующие формулы;
а) d(cu) = cdu Vc Є М;
б) d(u ±v) = du± dv;
в) (i(tiw) = udv + vdu;
r) = vau^uav при v{io^0.
Доказательство. Ограничимся доказательством только свойства в). Пусть z = z(u, v) = uv, тогда
. dz , dz . dz — ——du -f —dv = vdu udv. Ou Ov
В случае, если «иг» являются функциями от других независимых "переменных, то воспользуемся свойством инвариантности формы первого дифференциала (следствие 1). Свойство в) доказано.
