Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
311- того, что это множество открыто, оно будет покрывать и некоторый куб hn, что противоречит построению hn. Теорема 3 доказана.
Напомним, что числовой функцией на множестве А называется отображение F : А —> М. Далее под термином "функция" мы будем понимать только числовые функции. Докажем несколько свойств функций, непрерывных на компакте.
Теорема4. Пусть /(х) непрерывна на компакте К С Un. Тогда:
1) f(x) — ограничена на К;
2) существуют Xi, X 2 Є К такие, что
f(xі) = M = sup f(x), f(x2) = m = inf f{x). хек x^k
Доказательство. 1) Для каждой точки х Є К найдется окрестность 0(х,6(х)) этой точки, в которой функция f(x) ограничена. . Эти окрестности образуют покрытие открытыми множествами. Выделим из него конечное подпокрытие и получим, что /(х) ограничена на всем компакте К.
2) Проведем доказательство от противного. Пусть ни в какой точке функция /(х) не принимает максимальное значение. Тогда функция р(х) = является непрерывной на компакте К. Следовательно,
по утверждению 1) этой теоремы она ограничена. Отсюда имеем
0 < \ж 1 St \ < ' или f(x) < М ~ TT' M — /(х) M і
т.е. число М—щ — верхняя грань значений функции f(x), меньшая, чем М. Это противоречит определению числа М. В случае нижней грани значений функции /(х) доказательство проводится аналогично. Теорема 4 доказана.
§ 7. СВЯЗНЫЕ МНОЖЕСТВА И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Определение 1. Множество А в метрическом пространстве X называется связным, если при любом его разбиении на два непустых непересекающихся подмножества Ai и A2 они будут иметь общую граничную точку, принадлежащую А, т.е. точку а с условиями:
1) а Є А;
2) в любой €-окрестности точки а есть как точки из множества Ai, так и точки из множества A2, отличные от а.
Примерами связных множеств на плоскости являются отрезок, прямоугольник, круг.
Связное открытое множество называется областью, а связное множество, являющееся компактом, — континуумом.
312- Тєоремаї. Пусть А — связное множество в Inl функция F(x) непрерывна на А, и пусть существуют точки XllX2 € A, F(xі) = a, F(x2) = Ь, а < b. Тогда для любого числа с Є (а, Ь) существует точка X3 Є А такая, что F(x3) = с.
Доказательство. Рассмотрим два множества
Af1 = (х Є А\ F(x) < с}, M2 = А \ M1.
В силу связности множества А существует точка ?3, являющаяся граничной точкой как для множества Afi, так и для множества M2. В каждой из окрестностей On = 0(яз, 1/п) есть точка ап Є M1 и точка 6n € M2. Последовательности {а„} и {6П} сходятся к х$. Тогда из непрерывности функции -F(X) имеем:
F(X3) = F( lim a«) = lim F(an) < с,
n-+oo n-foo —
F(X3) - F( lim 6n) = lim F(bn) > c,
П-+ОО П-+00
т.е. в точке X3 функция F(x) равна с. Теорема 1 доказана. Глава XIV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ!ОБ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Лекция 21
S 1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В Rn
Еще раз обратим внимание на тот факт, что поскольку понятие непрерывности функции определяется как предел функции по базе, над непрерывными функциями п переменных В точке X =r Xo можно совершать арифметические операции с сохранением их непрерывности с обычной оговоркой о необращении в нуль знаменателя частного ^Jj в точке X = Xo. Справедливы также теоремы о неравенствах для
непрерывных функций в точке X = Xo типа таких: если /(хо) > #(хо), TO В некоторой окрестности ТОЧКИ X = Xo имеем /(х) > <?(х).
Будем, как и раньше, говорить, что функция /(х), заданная на множестве А С Kn, является непрерывной на множестве В С А, если /(х) непрерывна для любой точки х € В. Напомним, что для функции, непрерывной на компакте, справедливы теоремы об ограниченности функции на нем, о достижении ею точной верхней и точной нижней граней и о равномерной непрерывности, а для непрерывной функции, заданной на связном множестве, справедлив аналог теоремы о промежуточном значении.
Но кроме этих свойств есть свои специфические особенности функций многих переменных.
Пусть a = (ai,...,an) — некоторая точка из IRn и функция /(х) определена в некоторой окрестности точки а. Выделим одну из координат точки а. Пусть это будет координата с номером s, 1 < s < n, и обозначим через M С Kn множество всех тех точек, у которых все координаты, кроме 5-й, совпадают с координатами точки а. Если в качестве аргумента х рассматривать точки х € М, то мы получим функцию <р(х,) одной переменной х5, ip(xs) = f(ai,..., Xj,..., а„). Например, если f(xi, х2) = х\ + Xix2, то у>(х2) = oj + ai«2-
Определение 1. Будем говорить, что функция /(х) непрерывна в точке a по переменной xt, если <р(ха) HenpepbiBHf в точке ха = as.
Можно дать более общее определение непрерывности функции /(х) по любому направлению.
Определение 2. Направлением в Rn называется любой единичный вектор ё Є Rn-
314- Определение 3. Множество всех точек X вида х = a + te называется:
а) открытым лучом, выходящим из точки а в направлении ё, если t > 0;
б) замкнутым лучом, — если t > 0;
в) прямой, проходящей через точку a в направлении є, если t — произвольное вещественное число.
Рассмотрим функцию ф(і) = /(a + te).
