Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Q(T) < €-+IMnS = і
А это означает, что для любого є > 0 существует S = такое, что для любого разбиения T с условием Дт < S выполняется неравенство Q(T) < є, т.е.
Iim (S(T) - S(T)) = 0.
Дт—Ю
Теорема 1 доказана полностью.
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Верхнюю (соответственно нижнюю) сумму Дарбу функции f(x) на отрезке [а, Ь], отвечающую разбиению Tn отрезка [а, 6] на п равных частей, обозначим через Sn (соответственно Sn).
Докажем следующий специальный критерий интегрируемости функции по Риману.
196- Теорема 1. Для интегрируемости ограличенной функции /(ж) на отрезке [а, Ь] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
lim [Sn - sn) = 0.
IlHOO
Доказательство. Необходимость следует из критерия Римана (теорема 1 §4). Достаточность. Пусть
Г = UifS(T), /. =sups(T).
T т
Тогда для любого разбиения T будем иметь
«СП </*</*< S(T).
Следовательно,
SnKImKT < Sn.
Отсюда получим
Sn ~ sn > Г - h > 0. Но поскольку lim (Sn - sn) = 0, то Г = Im = /, и в силу теоремы 2
n-foo
§4 (условие 2) функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6]. Теорема 1 доказана полностью.
Следствие. Для интегрируемости ограниченной функции на отрезке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих эквивалентных условий:
4) lim (S„ - Sn) = О,
П-+00 •
5) inf (Sn - Sn) = 0.
Условия 4) и 5) дополняют условия 1),2) и 3) теоремы 2 §4.
Доказательство. Очевидно, имеем цепочку заключений
5) => 3) 1) => 4) 5).
Следствие доказано.
Пример. Рассмотрим последовательность {хп}, 0 < xn < 1. Пусть а и ? — любые числа с условием 0 < от < ? < 1. Обозначим через Nq количество членов последовательности {х*}, 1 < k < Q, попадающих на отрезок {ct,?]> т.е. а < ж* < ?, 1 < it < Q.
Будем говорить, что последовательность {ж„} равномерно распределена по модулю единица (p.p. (mod 1)), если выполняется соотношение
Iim а.
Qhoo Q
Докажем следующий критерий равномерной распределенности, принадлежащий Г.Вейлю.
197- Теорема2. (Критерий Г.Вейля^. Для того чтобы последовательность {хп} была равномерно распределена по модулю единица, необходимо и достаточно, чтобы для любой интегрируемой по Риману функции f(x) имело место равенство
Q 1
JS» з Ел*)=//(«)*• «
г=1 п
Доказательство. Достаточность. Периодическая функция /(х) с периодом 1,
/(«) = »=(х) = { J'
если а- < X < ?, в противном случае,
интегрируема на отрезке [0,1]. Кроме того, имеем
Q
Следовательно,
nQ = TI ?>(*»')» / Ф') dx~?-a.
i=i S
lim z= ? — ос, Q-> оо Q
т.е. последовательность {хп} равномерно распределена по модулю единица. Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть /(х) — произвольная интегрируемая по Риману функция на отрезке [0,1]. Тогда в силу критерия интегрируемости для любого € > 0 существует разбиение Т, такое, что
п п
Є
Q(T) = S(T) - s(T) < -, s(T) = ^mtAxllS(T) = ^M1-Ax,.
І-1 1=1
Очевидно, справедливо неравенстізо
X
»СП < J /(*) dx < S(T).
Положим
и);(тА — < '
если X ?. Ai,
( 1, если X € А,-,
M*) = {0
198 n
n
<p(x) - Ф(х) = ^fMi(Piix).
j=i
»=i
Заметим, что если равенство (1) выполняется для некоторых функций /і(х), /г(х),..., /г(х), то оно справедливо и для функции
д(х) = ci/i(x) 4- ?2/2(^) H-----1- сг/г(аг). Поэтому, исходя из определения
равномерной распределенности, получим:
Q і
1 ч у /
Jim п z2 v(Xr)= / =
Q^no Ч ^
Г— I п
1 Q } ^S0 Q = J фМdx = S(T)-
Q-*
Следовательно, для всякого є > 0 существует Qo = Qo(^) такое, что для всех Q > Qo имеем
Q
з'
TS=I
? 3
< г,
Далее, поскольку имеет место неравенство <р(х) < /(х) < Ф(х),
w-I^bi * h Іf{Xr)-hiф{Хг) -S{T]+1
Г = 1 Г=1 r=l
Q
Следовательно, как ^ Ё/(®r)i так и значение интеграла //(х) dx
Г— 1
принадлежат отрезку [s(T) — §, S(T) + |]. Поэтому имеем
Q 1
? E /(«')- J fHdx
Г= 1 . п
< QiT) + у < Є.
Теорема 2 доказана полностью.
199- § 6. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУММ
Метод интегральных сумм основан на следующей лемме.
Лемма. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6), я лусть {Vn} —- любая последовательность размеченных разбиений с условием, что последовательность диаметров разбиений {Ду„} —f О при и —У оо. Тогда при п оо имеем:
a)S„ = S(T(Vn)) /; б)sn = s(T(K„)) /; в)<гп = <r(Vn) I.
Доказательство. По определению интеграла и по критерию интегрируемости функции по Риману для всякого числа є > 0 существует число S = > 0 такое, что если Avw = Ar(Vn) < то имеем
kn - Л < \sn - /і < I < kn - /| < I < е.
Но так как последовательность {Av„} стремится к нулю при п —у оо, то вне соответствующей ^-окрестности нуля лежит не более конечного числа по(<5) значений Av,. Поэтому вне ^-окрестности числа J тоже лежит не более, чем по(<?) значений величин <тп, Sni Sn. Следовательно,
I =: lim (Tn — lim Sn = lim sn.
П—ЮО П-ЮО П-4-ОО
Лемма доказана.
6
Примеры. 1. Имеем Jex dx = еь -св.
а
Поскольку функция ех непрерывна на отрезке [а, 6], она интегрируема на нем. Для того чтобы найти значение интеграла, остается только выбрать последовательность {К,} и вычислить предел lim <гп.
