Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
п-+оо
Положим при k = O1..., п
,6-а, А 6-а .
хк = а + к-, ?к - Xk^i, Axk --- А, хк = а + *Д.
п п
Отсюда имеем
п-1
<тп = ]П ee+fcA • Д = Aea (1 + ед + ... + е*"-1)*) =
к=Q
1 — А
- Aea' А = ¦ (еь - еа).
1 - ЄА €А - 1 V '
200- Так как при n -Koo справедливо равенство Iim е?_1 =1, то
n-foo
о
Iim ап = eb — еа = Ie* dx.
n-+OO J
2. Пусть О < а < Ь. Тогда имеем / S = в - І-
а
Возьмем произвольное разбиение отрезка [а, 6]: а = Xq < ¦ •; < хп = b и положим = y/Xk-iXk, к = 1,... ,п. Тогда для соответствующей интегральной суммы егп будем иметь
ꥳХк~іХк ꥳ Xk~lXk ꥳ Vxjfe-1 а 6
Следовательно,
1 1
hm (Tn= I —n=--т-
n-foo J x? a b
3. Найти предел Jim + + =/.
Очевидно, имеем
n^ 1 * dar
/= иш у; -JLr . I = f J^-
Отсюда по формуле Ньютона - Лейбница, которая будет доказана чуть позже, получим I = In 2.
В частности, используя это, найдем сумму ряда
f (-1)*-
*=і *
UtaffJZ^Utaf1 » + і).
«-.00 ^J к J п^оо \ 2 3 2п /
= lim f—г H--—5 + ' H---—^=1п2.
п-юо^п+І л +2 п+п/
4. Справедливо следующее равенство:
г /
2 Ґ 2?г1п|аг|, если |ог| > 1,
In(1 — 2аcosX + аг) dx = <
t 0, если |ог| < 1.
201- Положим Zk = ?k = Zk к = 1,...,11. Тогда имеем Дх* = Следовательно,
n п 1 (Tft = Vln(1 - 2аcosXfc + а2)- = тг]Гіп |(а - е*'**)(а - =
*=i " *=i П
= TTln П I(а - е,аг*)(а - е"ІГк)|і = тгіп |а2п - 1|і *=і П П
Переходя к пределу при п —^ оо, получим искомое значение интеграла.
5. Пусть /(х) не убывает и ограничена на отрезке [а, 6]. Тогда для величины
к — 1 g
имеют место неравенства
0<Sn<m-M.
— — п
Очевидно, имеем
п $(*-«)
o<sn = t / (/(« + - «И -/(«)) dxS < E / (/(«+ ?(*-«))- /(« + l^ib -«)))dx <
= — E (/la + -(*-а)) - /(а + ^(6 - а))) =
71 ꥳ v 71 п '
= b-^(f(b)-f(a)). п
А это и доказывает требуемое неравенство.
6. Пусть функция /(х) имеет на отрезке [а, 6] ограниченную и интегрируемую производную, и пусть символ Sn обозначает то же, что и в примере 5. Тогда
lim n*„ = (А^хт - /<«»
п —> оо
2
202- В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях на каждом отрезке Afc — [х*_і,хА], к = 1,.. .,п, для любой точки ж Є Afc существует точка принадлежащая интервалу (xfc_i,xfc), такая, что
/(а + -(6 - а)) - f{x) = Г(Ь)?(Ъ - а\ - х). п п
Пусть mit, Mk — соответственно нижняя и верхняя грани производной /'(х) на отрезке Afc. Тогда < /'(&) < Mit. Из определения Jn имеем
п «(6~0)
Sn = Yl /
Отсюда следуют неравенства
х 7 к=1 4 ' Ic=I
Домножая обе части неравенства на п и переходя к пределу, получаем требуемое предельное соотношение.
Отсюда, в частности, для последовательности примера 3, имеем
/ 1 1 1 і Л і
Iim п (-- +-- + • - ¦ + —--In2 J = --.
п-юо +1 п + 2 R+n / 4
7. Пусть р(х) непрерывна и положительна на отрезке [0, 1]. Тогда справедливы неравенства
1 f Inp(X) dx , , .
— < е° < І р[х) ах.
і
Г dx
J W)
Положим Xfc = , к = 0,... , п. Тогда для соответствующих интегральных сумм в силу неравенств между средними гармоническим, геометрическим и арифметическим имеем
¦ 1 " 1 < = VP(-I) -PW^ p(xi) + - -p(xn).
FTiTT+"- + ?]^! п
Переходя в этих неравенствах к пределу при n оо, получаем искомое неравенство., Лекция 9
§ 7. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА КАК ПРЕДЕЛА ПО БАЗЕ
Напомним данное в конце § 1 определение интеграла Римана как предела по некоторой базе.
Пусть А — совокупность всех размеченных разбиений отрезка [а, 6]. Множество А будет основным множеством базы В. При всяком S > О окончаниями b = bs Є А этой базы В являются множества, состоящие изо всех размеченных разбиений V Є А с диаметром разбиения Av, меньшим $. Другими словами, окончание bs задается так:
Пусть, как и раньше, <r(V) — интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению V = {хо, xi,..., xn;, • ¦ •,?п}> т.е.
п
л=!
Тогда число / называется интегралом Римана от функции /(х) на отрезке [а, 6], если
в v '
Другими словами, число I — интеграл от функции /(х) на отрезке [а, 6], если для всякого є > 0 существует число S = <J(e) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения V отрезка [а, 6] с условием Ay < S имеем
\I-<r(V)\<€.
Пусть теперь А' — совокупность неразмеченных разбиений отрезка [а, Ъ]. Это множество А' является основным множеством базы В состоящей из окончаний bs, причем bs состоит изо всех неразмеченных разбиений T с диаметром At < 6.
Дадим определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Пусть S(T) и s(T) — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие неразмеченному разбиению T я ЩТ) = S(T) -s(T). Тогда число
Г = inf S(T) Тед' к
называется верхним интегралом Дарбу, а число
Im = sup s(T)
Т€А'
204 — нижним интегралом Дарбу от функции f(x) на отрезке [а, 6].
Возьмем любое фиксированное неразмеченное разбиение То. Обозначим через а (То) множество всех тех размеченных разбиений V, которым соответствует одно и то же неразмеченное разбиение То, т.е. множество всех его разметок. Тогда, исходя из леммы 2 §3, определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу «можно записать и так:
