Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
7*= inf sup , <r(K),/* = sup inf <r(V).
Отметим несколько свойств введенных выше понятий.
Jl е м м а 1. Пусть размеченное разбиение V есть разметка разбиения То, т.е. V Є а (То). Тогда, если V Є bs, то:
1) а (То) С bs;
2) m U Qt(To) = U а(Т0)=6*. T0lAr0 <S Toib1i
Действительно, имеем Дто = Avr- Следовательно, для любого размеченного разбиения Vi € Oi(To) получим Av1 = Av < Sr поэтому а(То) С bs. Свойство 2) проверяется аналогично. Лемма 1 доказана.
Отметим теперь несколько свойств базы В. Кроме указанных ранее двух свойств:
1) любое окончание базы — непустое множество;
2) для любых окончаний Ь\ и Ь2 существует окончание &з с условием 63 CbiUb2, выполняются следующие три свойства:
3) Для любых окончаний Ь\ и Ь2 выполняется одно из условий: либо 61 Cb2, либо 62 С &1.
4) Напомним определение фундаментальной и монотонной последовательности по базе множеств (см. лекцию ЗО, ч. I). Последовательность разбиений {14} называется фундаментальной по базе В, если для любого окончания 6 Є В существует только конечное множество членов последовательности, не принадлежащих Ь. Фундаментальная последовательность {Кі} называется монотонной по базе В, если для любого окончания b из условия Vn € b следует, что Vn+1 Є b. В качестве монотонной последовательности по базе В можно взять последовательность {К»} размеченных разбиений отрезка [а, 6] таких, что Tn = T(Kt) является разбиением его на п равных частей.
5) Г) 6 = 0. ьев
Введем следующие обозначения для верхнего и нижнего пределов по базе В :
Г = Iima-(V)y Л = Iimc(V). в в
Справедливо следующее утверждение.
205- Теоремаї. Имеют место неравенства.:
J*<h<r<Jm-
Отсюда в силу критерия Коши получим следующий критерий интегрируемости функции по Риману.
T е о р е м а 2. Для того чтобы функция была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
J* = Л.
Доказательство теоремы 1. Из определения верхних интегралов I* и J* и свойств верхнего предела по базе множеств (теорема 3, лекция 30, ч. 1) имеем
Г' = inf S(T) = inf sup tr(K)=mf inf sup <t(V) <
T 7Vea(T) 6>ObT<6Vf: a(T)
< inf inf sup cr(V) = inf sup cr(V) = 1іш<т(К) = J*,
т. е. Г < J*. Аналогично, получим, что Л < /*. Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Итак, мы видим, что критерий Римана для существования интеграла в форме I* = U на языке понятия предела по базе, в сущности, эквивалентен критерию Коши существования предела по базе Ay —> 0.
Замечание 2. Из эквивалентности понятий предела по Коши и по Гейне для базы Дт —> 0 вытекает, что функция интегрируема тогда и только тогда, когда для любой последовательности разбиений (Vrn) с условием Avn -> 0 при п оо последовательность интегральных сумм {<т(К,)} является сходящейся последовательностью. С другой стороны, специальный критерий интегрируемости, который был доказан ранее, говорит о том, что здесь можно ограничиться лишь одной последовательностью равномерных разбиений отрезка интегрирования. В этом проявляется специфика рассматриваемой базы Дт 0.
Уточним теорему 1, а именно, покажем, что верхний предел по базе В интегральных сумм совпадает с верхним интегралом Дарбу. Для этого нам будут необходимы несколько лемм.
Jl е м м а 2. Пусть модуль функции f(x) ограничен на отрезке E = [а, Ь] числом M. Пусть T — разбиение этого отрезка с диаметром S > 0. Пусть также разбиение Ti получается из T добавлением к нему одной точки. Тогда для разности верхних сумм Дарбу S(T) и S(Ti) имеем оценку
- \S(Ti) ~ S(T)\ <2М8.
206- Доказательство. Рассмотрим отрезок Eq — [ao,i>o]} являющийся отрезком разбиения T и содержащий точку t Є Ti, не входящую в разбиение Т. Тогда наборы точек г = (ао < 6о} и П — {ао < t < 60} можно рассматривать как неразмеченное разбиение отрезка Ё0. Пусть при этом S(t) и S(Ti) есть верхние суммы Дарбу на этом отрезке. Тогда из определения следует, что
S(T1)-S(T) = S(T1)-S(T).
Отсюда имеем
\S(Ti) - S(T)I = \S(Ti) - S(T)I < IS(t1)I + |S(t)| < Мб+ Мб = 2Мб.
Лемма 2 доказана.
JI е м м а 3. Если в условиях леммы 2 разбиение Т\ получается из разбиения T добавлением не более, чем п точек, то имеет место оценка
IS(Ti) -S(T)I < 2М8п.
Доказательство. Справедливость леммы 3 устанавливается п кратным применением леммы 2. Лемма 3 доказана.
Л е м м а 4. Пусть разбиение T отрезка E — [а, 6] удовлетворяет условию леммы 2, а разбиение Т\ того же отрезка содержит не более п внутренних точек. Тогда справедливо неравенство
S(T) < S(T1)+ 2М$п.
Доказательство. Рассмотрим разбиение T2 = T U Ti. Тогда в силу основного свойства верхних сумм Дарбу справедливы неравенства
S(T2) < S(T), S(T2)KS(T1). Далее применим лемму 3 к суммам S(T) и S(T2), получим
S(T) - S(T2) < 2М6п.
Отсюда следует, что
,S(T) < S(T2) + 2MSn < S(Ti) + 2MSn. Лемма 4 доказана.
207- Теорема 3. Пусть модуль функции f(x) ограничен на отрезке E = [а, 6] числом M > 0. Пусть, 4алее, I* — верхний интеграл Дарбу от функции /(ж), a <r(V) — интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению V отрезка Е. Пусть также J* = Jim^tr(V).
