Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Существуют и другие конструкции, с помощью которых можно ввести понятие и площади, и определенного интеграла, интересующего нас в первую очередь. Смысл этих конструкций состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждой функции из некоторого класса свое число таким образом, чтобы при этом выполнялось ряд естественных свойств, которыми обладает площадь простейших фигур. Заметим, что чем сложнее конструкция, тем шире становится класс функций, для которых понятие "определенный интеграл" приобретает смысд. Мы здесь будем рассматривать конструкцию, предложенную немецкий математиком Б. Риманом, и поэтому соответствующий интеграл будем называть интегралом Римана. Также познакомимся и с интегралом более общего вида: интегралом Лебега, но, в основном, будем заниматься интегралом Римана. Изложение оригинальной конструкции Б Римана можно найти в его- статье "О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда", написанной им в 1853 году. Впервые эта статья была опубликована в 1867 году. На русском языке она появилась в 1914 году ("Харьковская математическая библиотека", серия В, №2).
Заметим, что, например, интеграл Лебега является более' общим, чем интеграл Римана, на том основании, что все функции, интегрируемые по Риману, также являются интегрируемыми по Лебегу, но не наоборот. Но подчеркнем, что если функция интегрируема двумя разными способами, то значения интеграла всегда обязаны совпадать. Так что задача расширения понятия интеграла может состоять только в том, чтобы приписать числовые значения определенным интегралам от все более широких классов функций, не меняя при этом значений интегралов для тех функций, у которых это значение установлено.
Переходим к изложению конструкции интеграла Римана. Будем считать, что функция f(x) определена на интервале (а, /?), содержащем отрезок [а, Ь].
Определение 1. Конечное множество T точек х0, xi,..., хп называется (неразмеченным) разбиением отрезка [а, Ь], если п > 1 и а = хо < Xi < • • • < хп = Ь.
Определение 2. Будем говорить, что разбиение Ti предшествует разбиению T2 (или разбиение T2 следует за разбиением Ti), если имеет место теоретико-множественное включение Tl CT2 (или T2 D Ti). Разбиение T2 называется измельчением разбиения T1.
Очевидно, справедливы следующие свойства.
1°. Всякое разбиение есть измельчение самого себя.
186- 2°. Если Тз = Ti UT2, то разбиение Тз есть измельчение и разбиения Tu и разбиения T2.
Для любого разбиения T = {жо, xi, • • •, хп} через Д* обозначим отрезок вида {х*_Длину этого отрезка обозначим так:
Axk = хк-~ xjfc-i-
Определение 3. Величина At = шах Axk называется диаме-
1 <к<п
тром разбиения Т.
На каждом из отрезков Ak выберем точку к = 1,...,п, т.е.
^k-1 < Zk < хк.
Определение 4. Совокупность точек {жо,. • •, xn, ..., ?п} называется размеченным разбиением отрезку [а, Ь].
ї
Обозначим его через V, а соответствующее ему неразмеченное разбиение — через T = T(V).
Определение 5. Сумма
п
T(V) = /Кі)Д«і + • • • + HMAxn = ? /(&) Axk
A=1
называется интегральной суммой функции /(ж), соответствующей размеченному разбиению V.
Определение 6. Число I называется определенным интегралом (Римана) от функции f(x) на отрезке [а, 6], если для всякого е > О существует S = <?(е) > О такое, что для любого размеченного разбиения V отрезка [а, 6] с условием Av < S справедливо неравенство
II~<r(V)l <е,
т.е.
п
Для интеграла I используют обозначение
ь
I=J f(x) dx.
187- Определение 7. Функция /(я), для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой (по Римаяу) на отрезке [а, 6].
Легко доказать следующее утверждение. Если существуют два числа Ii и I2, удовлетворяющие определению интеграла Римана от функции f(x) на отрезке [а, 6], то ойи совпадают, т.е. Ii = I2.
Действительно, если, например, Ii < I2l то в качестве величины е возьмем число, равное \(I2~h). Тогда в силу определения интеграла существует число 6 = S(є) > О такое, что для любого размеченного разбиения V с условием Д у < S имеем
Wv ~h\<?, Wv ~12\<є.
Следовательно,
I2 - I1 = 112 - I1I < JI2- ey | + |<rv - /і| < 2с = J2 - Д.
і
Отсюда получим I2-Ii < h — h> что невозможно, так что имеем
Ii = I2. Утверждение доказано.
ь
Определенный интеграл f f(x) dx можно рассматривать как предел
а
по некоторой базе. Определим эту базу, т.е. опишем множество окончаний, из которых она состоит. ,
Напомним определение базы В подмножеств 6 основного множества А. Окончаний Ь С А базы В, т.е. ее элементы, удовлетворяют следующим условиям:
1) пустое множество не является окончанием базы;
2) для любых двух окончаний bi, b2 базы В найдется окончание Ьз Є В с условием 63 CbiDb2.
В качестве основного множества А возьмем множество всех размеченных разбиений отрезка [а, 6]. Для каждого S > 0 рассмотрим множество bs С Ai состоящее изо всех размеченных разбиений с диаметром Av меньшим, чем 6, т.е. Av < 6. Совокупность множеств {&$} и будет искомой базой. Интегральная сумма <х(У) является функцией, определенной на множестве А размеченных разбиений V. Тогда определенный интеграл от функции /(х) на отрезке [а, 6] оказывается не чем иным, как пределом интегральных сумм Or(V) по базе В, т.е.
