Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Тогда имеет место равенство J* = I*-
Замечание. В силу ограниченности функции f(x) числа I* и J* существуют.
Доказательство. Обозначим через T(V) неразмеченное разбиение отрезка Е, полученное из размеченного разбиения V отбрасыванием точек разметки, а через а (То) — множество всех размеченных разбиений V с условием T(V) -Tq.
Тогда непосредственно из определений и свойств верхнего предела по базе и из леммы 1 вытекает
S(To) — sup <r(V), I* = infS(Tt) = inf inf S(T), Vga(T0) Т *>°
г ^ Hm tr(V) = inf sup <t(V) = = inf sup sup <t(V) = inf sup S(T).
*>°Дг<* Vea(T) s>°&t<S
Таким образом всегда имеет место неравенство
Г = inf inf S(T) < inf sup S(T) = Г.
Нам надо доказать, что I* = J*. Заметим, что для любого числа є > 0 число I* +е уже не является нижней гранью множества значений S(T), поэтому существует разбиение То такое, что
/* < S(To) < I* + е.
Далее-заметим, что величина sup S(T) как функция от S является
Дт<*
неубывающей. Поэтому существует > 0 такое, что для всякого S с условием 0 < S < именем
J* < sup S(T) <J*+e. Дт<*
Отсюда, в частности, следует, что существует разбиение Ti с условием Arl < S такое, что
J* - є < S(Ti) < J* + є.
Обозначим через п количество внутренних точек разбиения То. Тогда по лемме 4 справедлива оценка
S(Ti) < S(T0) + 2М6п.
208- Следовательно,
J* - є < S(T1) < S(T0) + 2MSn < І* + є 2MSn.
Поэтому справедливо неравенство
О < Г - Г < 2е + 2М6п.
Но так как числа е > О и 0 < ? < можно выбрать сколь угодно малыми, то J* ~ Г = О, J* = Г. Теорема 3 доказана.
Следствие теоремы 3. Справедливо равенство Jm = /*.
Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) = —/(«)• Тогда по доказанной теореме 3 имеем, что Jm(д) = 1*{д), но J*(g) = — J+(f) и Г (д) = -/*(/)• Отсюда получим Л(/) = /*(/)•
Следствие доказано.
§ 8. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО РИМАНУ
Докажем, что любая непрерывная на отрезке функция и любая монотонная на отрезке функция являются интегрируемыми на этом отрезке.
Теорема 1. Всякая функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем.
Доказательство. В силу теоремы Кантора функция f(x), непрерывная на отрезке [а, 6], является равномерно непрерывной на нем. Поэтому для любого числа є > 0 найдется S = <${е) > 0 такое, что для любых точек х} у € [а,Ц с условием \х — у\ < S выполняется неравенство |f(x) - f(y)\ <
Возьмем любое разбиение T отрезка [а, 6] с диаметром Дт < S. Тогда будем иметь
Следовательно, для всякого t > 0 мы нашли число S = 6(e) > О такое, что для любого разбиения T с диаметром At < S выполняется неравенство Q(T) < є, т.е. ^lim^ Q(T) = 0. Отсюда в силу критерия
интегрируемости следует, что функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6]. Теорема 1 доказана.
Отсюда получим
п
п
209- T е о р е м а 2. Всякая функция f(x), ограниченная и монотонная на отрезке [а, 6], интегрируема на нем.
Доказательство. Без ограничения общности можно рассмотреть только случай неубывающей на отрезке [а, 6] функции /(х). Зададимся произвольным числом є > 0 и положим
s=z
f(b — 0) — /(о + 0) 4- 1 a;*= sup (/(*)-/(*)) =/(xA-0) +0?.
Тогда для любого разбиения T : а = Xq <•••< хп = b с диаметром Дт < S будем иметь
п п
Q(T) = < S^uk < (f(b - 0) -f(a + 0))* < в,
*=1 A=I
т.е. получим, что Iim Q(T) = 0, и, значит, в силу критерия инте-
дт-»-0
грируемости функция f(x) интегрируема на отрезке-[а, 6]. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Всякая ограниченная на отрезке [a, b] функция, непрерывная всюду, за исключением конечного числа разрывов, интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. В силу критерия интегрируемости функции f(x) в форме inf Q(T) = 0 нам достаточно для любого е > 0
построить разбиение T с условием Q(T) < е.
Пусть количество точек разрыва f(x) равно m и M =- sup J/(x)
х?[а,Ь]
Каждую точку разрыва dx, s = l,...,m, окружим окрестностью вида
Дk = [dt- + Шії)- ТогДа в каждом из отрезков
" *
= + .....m+Ud0 = a,dm+1=b
функция f(x) непрерывна, и, значит, по теореме Кантора она является равномерно непрерывной на каждом из этих отрезков. Поэтому мы можем выбрать число S = <J(g) >0 такое, что для любых точек х,у, принадлежащих этим отрезкам, и |х —у| < <5, выполняется неравенство \f(x) — f(y)\ < 2(Ь-а)- Построим теперь произвольное разбиение T0 указанных отрезков так, чтобы выполнялось условие Дт0 < Объединим это разбиение То с построенными ранее окрестностями точек разрыва, получим разбиение T отрезка [а, 6]. Далее имеем
Q(T) = Q1+ Q2,
210- m ^
Qi =Yujk^xk ~2Мтп '4Mm, k=l
^ = E < (Ь - a) .
ДкЄТо v
Следовательно, Q(T) < є. Теорема 3 доказана. Лекция 9
§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим свойства интеграла, связанные с интегрируемостью на заданном фиксированном отрезке. Множество всех интегрируемых функций на отрезке [а, 6] будем обозначать символом Я[а, 6] или просто IR.
Утверждение 1, Пусть функция f(x) отличал от нуля только в I точках. Тогда / € IR я
б
/(*) dz = 0.
а
Ь
J
Доказательство. Пусть M = max \f(x)\. Возьмем
